Поиск: Рекомендуем: Почему я выбрал профессую экономиста Почему одни успешнее, чем другие Периферийные устройства ЭВМ Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки) Категории: Астрономия Биология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника	Главная О нас Популярное ТОП Новые страницы Случайная страница Контакты FAQ ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ Отношения между множествами Понятие множеств и элемента множеств В конце XIX века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918). Эта теория, несмотря на небольшой возраст, стала фундаментом всей математики. Множество – одно из основных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Оно возникло как обобщение таких понятий, как класс, группа, совокупность, набор, стая, стадо и др. Можно говорить о множестве домов на улице, о множестве пальцев на руке у человека, множестве углов у квадрата, множестве натуральных чисел. Элементы множества – объекты, из которых образовано множество. Различают множество конечные и бесконечные. Например, множество страниц в книге – это конечное множество, а множество точек на прямой – бесконечное множество. В русском языке слово «множество» обозначает большое число предметов. В математике рассматривают не только множества с большим числом элементов, но и одноэлементные множества, а также пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. На рисунке 26 можно увидеть примеры различных множеств. Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С. Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел. Ø – символ, обозначающий пустое множество.   МНОЖЕСТВА
конечные	бесконечные	пустое
- множество цифр в десятичной системе (10 элементов), - множество букв русского алфавита (33 элемента),   - множество цветов спектра (7 элементов),   - множество дней недели (7 элементов) и др.	- множество точек на прямой,   - множество натуральных чисел: {1, 2, 3, },   - объем понятия «квадрат» и др.	- множество решений уравнений 5: х = 0,   - множество общих точек у параллельных прямых,   - множество рогов у человека,   - множество яблок на вашей парте сейчас и др.

Рис. 26

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c…

а А - читают:

«Объект а принадлежит множеству А»;

«Объект а является элементом множества А»;

«Множество А содержит элемент а».

Задание 17

      Прочитайте самостоятельно тремя способами:а А  

                  Примеры: 3 N - «3 – натуральное число»;

         а           – 5   N – «5 – не является натуральным числом».

                                 Замечание: в геометрии приняты другие обозначения (рис. 27):

           А                    А а, где а – прямая, то есть множество точек, А – точка, то есть элемент множества.          

      Рис. 27           

Если хотите указать все элементы множества, то перечисляют их и записывают в фигурных скобках через запятую: А { a, b, c }. Читают: «Множество А состоит из элементов a, b, c». Причем порядок записи элементов в множестве несуществен, так: А { b, c, a }.

Элементы множества рассматриваются как целое, их части не являются элементами данного множества.

Задание 18

1. Перечислите элементы множества букв в слове «математика». Какой ответ будет верным:

а) {м, а, т, е, и, к}; b) {м, а, т, е, м, а, т, и, к, а}?

2. Множество состоит из картинок, изображенных на рисунке 28, назовите элементы этого множества. Можно ли окно домика считать элементом данного множества?

Способы задания множеств

Так как понятие множества не имеет явного определения, необходимо научиться узнавать, является ли данная совокупность множеством или нет. Считают, что множество определяется своими элементами.

Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству либо не принадлежит.

Способы задания множеств:

· Перечислить все его элементы (применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных, если понятно, какие элементы не указываются):

А = {0, 2, 4, 6, 8};

В = {♠, ♣, ♥, ♦};

Ν = {1, 2, 3, …}.

· Указать характеристическое свойство элементов множества (применяется для любых множеств):

А – множество цифр, которыми оканчивается запись четных чисел;

В – множество карточных символов;

Ν – множество натуральных чисел.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Так, характеристическое свойство элементов множества Ν – «быть натуральным числом».

Названные способы задания множеств взаимосвязаны – если конечное множество задано с помощью характеристического свойства, то можно его элементы перечислить, и наоборот.

Задание 19

1) Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества А, если:

· А = {зима, весна, лето, осень};

· А = {+, –, ∙,: };

· А = {1, 3, 5, 7, 9}.

2) Перечислите все двузначные числа, в записи которых используются две одинаковые цифры.

3) Назовите все гласные буквы русского алфавита.

Подобные задания часто используются в работе с учащимися. Смысл данных упражнений – перейти от одного способа задания множества к другому.

При обучении дошкольников математике большое место отводится формированию у детей представлений о множестве, его элементах, способах задания и операциях между множествами. Примеры приведены в таблице на рисунке 29.

Рис. 29

Отношения между множествами

Два множества могут пересекаться и не пересекаться.

Задание 20

Назовите множества, которые можно выделить на рисунке 30. Покажите их элементы. Сколько элементов в каждом множестве?

Рис. 30

Пусть А – множество треугольников, изображенных на рисунке 30; В – множество квадратов, изображенных на этом же рисунке. У этих множеств нет общих элементов. Говорят, что множества А и В непересекающиеся множества.

Множества не пересекаются, если они не имеют общих элементов.

Пусть А – множество треугольников, изображенных на рисунке 30; С – множество черных фигур на этом же рисунке. Тогда 2 черных треугольника – общие элементы множеств А и С. Говорят, что множества А и С пересекающиеся множества.

Множества пересекаются, если у них есть общие элементы.

Примеры пересекающихся множеств.

1) Пусть D – множество изображенных геометрических фигур, А – множество изображенных треугольников (рис. 30). Эти множества пересекаются так, что каждый элемент множества А является элементом множества D. В таком случае говорят, что множество А является подмножеством множества D.

Одно множество называется подмножеством другого множества, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Пишут: Ø

Читают: «А – подмножество D», «А включается в D», «D включает А».

2) Пусть В – множество квадратов, изображенных на рисунке 30; Е – множество четырехугольников на этом же рисунке. Эти множества содержат одни и те же элементы. В таком случае говорят, что множества равны.

Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Пишут: В = Е.

Можно дать и другое определение:

Множества равны, если каждый элемент одного множества является элементом другого множества, и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

В = Е В  Е и Е  В

Задание 21

1) Установите отношение между множествами, выделенными вами на рисунке 30.

2) Установите отношения множества А с другими множествами, если:

А = { a, b, c, d, e };

В = { b, d, k, e };

С = { c, e };

D = { c, d, a, b, e };

Е = { k, l, m }.

3) Выделите все подмножества множества Е = { k, l, m }.

Задания на распознавание отношений между множествами применяются в работе с детьми очень часто. Например, для выделения подмножества из множества даются такие задания:

- «Из всех игрушек отбери кубики» (для дошкольников)

- «Среди данных чисел назови четные» (для учащихся начальных классов).

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. (Леонард Эйлер (1707 – 1783) – выдающийся математик, механик, физик и астроном, по происхождению швейцарец; работал в Петербурге, в Берлине). Множества, независимо от количества элементов в них, изображают при помощи кругов (рис. 31).

Итак, можно выделить разные отношения между множествами:

1) множества не пересекаются;

2) множества пересекаются:

- одно множество является подмножеством другого, но множества неравны;

- множества равны.

Задание 22

1. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами, выделенными вами на рисунке 30.

2. Установите, какой из чертежей на рисунке 32 отражает отношения между следующими множествами:

а) множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел;

б) объем понятия «четырехугольник», объем понятия «прямоугольник», объем понятия «ромб»;

в) множество пальцев на правой руке, множество пальцев на левой ноге, множество пальцев у человека;

г) объем понятия «женское имя», объем понятия «мужское имя», объем понятия «кличка животного».

                1)                                    2)                                       3)                             4)

Рис. 32

Операции над множествами

Из элементов двух множеств можно образовывать новые множества, которые являются результатом определенных операций над множествами.

Пересечением двух множеств А и В называется множество А ∩ В, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

А ∩ в = { х | х А и х В }

Рассмотрим примеры, используя рисунок 30.

1. Пусть А – множество треугольников, В – множество черных фигур, С – множество черных треугольников. Тогда множество С можно рассматривать как пересечение множеств А и В, так как черные треугольники принадлежат обоим множествам: А ∩ В = С.

2. Пусть А – множество треугольников, В – множество черных треугольников. Тогда их пересечением будет множество В, так как В является подмножеством А: А ∩ В = В.

3. Пусть А – множество квадратов, В – множество четырехугольников. Тогда их пересечением будет любое из этих множеств, так как множество А и В равны: А ∩ В = А или А ∩ В = В.

4. Пусть А – множество треугольников, В – множество квадратов. У этих множеств нет общих элементов, поэтому результатом их пересечения будет пустое множество А ∩ В = Ø.

В работе с детьми чаще всего рассматривается первый случай. Он учит выделять общие элементы в множествах.

Результат пересечения двух множеств зависит от их отношений и может быть изображен при помощи кругов Эйлера так, как на рисунке 33.

Задание 23

Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением были:

- точка;

- отрезок;

- треугольник;

- четырехугольник;

- пятиугольник;

- шестиугольник.

Над множествами выполняют и другую операцию – объединение.

Объединением двух множеств А и В называется множество А   В, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

А В = { х | х А и х В }

Рассмотрим примеры, используя рисунок 30.

1) Пусть А – множество треугольников, В – множество черных фигур, С – множество всех фигур. Тогда множество С можно рассматривать как объединение множеств А и В: А   В = С.

2) Пусть А – множество треугольников, В – множество черных треугольников. Тогда их объединение будет множество А: А   В = А.

3) Пусть А – множество квадратов, В – множество четырехугольников. Тогда их объединение будет любое из этих множеств, так как множество А и В равны: А   В = А или А   В = В.

4) Пусть А – множество треугольников, В – множество квадратов, С – множество всех фигур. Тогда результатом объединения множеств А и В будет множество С: А   В = С.

В случае пересекающихся множеств (пример 1) общие элементы множеств А и В в объединении записываются только один раз. Например, если А = { a, b, c, d }, В = { b, c, k, l, m }, то А   В = { a, b, c, d, k, l, m }.

В работе с детьми чаще всего рассматривается четвертый случай. Он учит объединять непересекающиеся множества. Это используется и для изучения действия сложения чисел. Например: на столе лежат яблоки и груши.

· Сколько яблок? (3)

· Сколько груш? (2)

· Сколько всего фруктов? (5)

· Как получилось число 5? (3 + 2).

С помощью кругов Эйлера объединение можно изобразить, так как показано на рисунке 34.

Задание 24

Найдите объединение и пересечение множеств А и В, если:

- А = {2, 4, 6, 8}, В = {6, 7, 8, 9};

- А = {2, 4, 6, 8}, В = {1, 3, 4, 5, 7};

- А = {2, 4, 6, 8}, В = {4, 8};

- А = {2, 4, 6, 8}, В = {4, 8, 2, 6};

- А = {2, 4, 6, 8}, В = Ø.

Заметим, что при пересечении и объединении равных множеств результат получается одинаковый. При пересечении любого множества с пустым множеством получается пустое множество. Результатом объединения любого множества с пустым множеством является исходное множество.

Из школьного курса известно, что операции над числами и их результаты имеют разные термины:

  В теории множеств рассмотренные операции и их результаты имеют одно название: «объединение», «пересечение».

Операции над натуральными числами обладают рядом свойств. Для любых а Î B, b Î N, c Î N справедливы равенства:

а + b = b + а (переместительное свойство сложения);

а · b = b · а (переместительное свойство умножения);

(а + b) + с = а + (b + с) (сочетательное свойство сложения);

(а · b) · с = а · (b · с) (сочетательное свойство умножения);

(а + b) · с = а  · с + b · с (распределительное свойство умножения относительно сложения).

Похожими свойствами обладают и действия над множествами.

Дата добавления: 2018-10-15; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1179 | Нарушение авторских прав

Лучшие изречения:

Настоящая ответственность бывает только личной. © Фазиль Искандер
==> читать все изречения...

1676 - | 1501 -