Вычисление определителей произвольных порядков

Преобразованиями, описанными в разделе 5.1, приводим определитель к треугольному виду. Далее, определитель равен произведению диагональных элементов.

Приведём пример вычисления определителя матрицы . Вычтем из каждой строки предыдущую (начиная с последней строки). В результате получим треугольную матрицу, по диагонали которой стоят 1. Определитель равен 1.

Определитель Вандермонда

Пусть даны числа  . Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный  . Обозначим через  матрицу Вандермонда. Определитель матрицы Вандермонда является многочленом от , т.к.  . Рассмотрим определитель как многочлен от . Степень этого многочлена равна n-1, а его корни равны  (т.к. определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю). Следовательно, , где q – коэффициент при старшей степени. Легко убедиться, что . Таким образом получена рекуррентная формула , последовательным применением которой придём к равенству .

Теорема Лапласа

Определение 5.2. Пусть  и  множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответственно. Подматрицу матрицы A, расположенную на пересечении строк с номерами из I и столбцов с номерами из J,  обозначим как , а подматрицу, получаемую из A, вычеркиванием строк с номерами из I и столбцов с номерами из J обозначим через . Определитель  называется минором, а определитель  - дополнительным минором.

Лемма 5.1 Справедливо равенство .

Доказательство. Выразим правую часть равенства через элементы исходной матрицы. Для этого заметим, что  и , где  (номера  упорядочены в порядке возрастания). Подставим данные выражения в правую часть и перемножим

Первая сумма состоит из  слагаемых, вторая сумма – из k! слагаемых и третья сумма – (n-k)! слагаемых. Следовательно, общее количество слагаемых равно n!. Покажем, что каждое из этих слагаемых входит в определитель с тем же самым знаком. Слагаемое имеет вид , где . В определителе оно соответствует подстановке . Представим подстановку  в виде произведения трёх подстановок , где ,  и . Легко убедиться в справедливости равенств , , . Следовательно, , и таким образом, совпадение знаков показано, что завершает доказательство леммы.

Теорема 5.1 (Лапласа). Пусть  множество номеров строк. Справедливо равенство .

Доказательство. Обозначим через B матрицу, получающуюся из матрицы A последовательной подстановкой строк с номерами из I на место первых k строк (при этом порядок остальных строк не нарушается). Для этого потребуется  подстановок строк, и значит, . Разложив определитель матрицы B (Лемма 5.1), и заметив, что ,  выводим .

Следствие 5.1. Пусть  множество номеров столбцов. Справедливо равенство .

Вытекает из теоремы Лапласа и равенства определителей .

Следствие 5.2. (разложение по столбцу). Пусть j – номер столбца. Справедливо равенство .

Следствие 5.3 (разложение по строке) Пусть i – номер строки. Справедливо равенство .

Примеры использования теоремы Лапласа.

Умножение матриц

Определение 5.3. Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*k. Произведением матриц A*B называется матрица C размерами m*k, элементы которой находятся по формулам . Другими словами, элемент матрицы произведения, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен произведению i-ой строки A на j-ый столбец B.

Свойство 5.7 Пусть A*B=C. Строка i матрицы C является комбинацией строк матрицы B, причём коэффициенты берутся из i строки матрицы A. Столбец j матрицы C является комбинацией столбцов матрицы A, причём коэффициенты берутся из j столбца матрицы B.

Свойство 5.8. Произведение матриц не коммутативно.

Свойство 5.9. Произведение матриц ассоциативно.

Формула Бине-Кощи

Теорема 5.2 (Бине-Коши).. Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где  - матрица, образованная столбцами матрицы A с номерами , а  - матрица, образованная строками матрицы B с номерами .

Доказательство. Пусть C=AB. По определению определителя . Выразим элементы C через элементы A и B, получим . Перемножим все суммы придем к выражению . Поменяем порядок суммирования, поставив сумму по подстановкам на последнее место. Вынесем за знак суммы сомножители не зависящие от f получим . Сумма  есть определитель матрицы , следовательно, . Определитель, содержащий одинаковые строки равен 0, поэтому исключив из последней суммы слагаемые с одинаковыми номерами строк, придем к выражению . Для упорядочивания строк матрицы  потребуется  подстановок соседних строк (см.Теорема 4.1), следовательно,  и . Вынесем за знак последней суммы множители не зависящие от f . Сумма  есть определитель матрицы , следовательно, , что и требовалось.

Следствие 5.4. Пусть A и B квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель произведения равен произведению определителей .

Операции с матрицами

Обратная матрица

Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.

Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образом, единичная матрица играет роль 1 среди матриц.

Определение 6.1. Матрица B называется обратной к матрице A, если AB=BA=E. Обратная матрица обозначается .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц.

Свойство 6.1. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует две обратные матрицы к A, которые обозначим через B и C. Рассмотрим произведение BAC. С одной стороны (BA)C=EC=C, а с другой B(AC)=BE=B. Результат не зависит от способа расстановок скобок, поэтому B=C.

Определение 6.2. Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0.

Теорема 6.1. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы к A является ее невырожденность.

Доказательство. Пусть к матрице A существует обратная . Из равенства  следует равенство определителей , откуда .

Пусть . Построим матрицу B, элементы которой равны . Найдем AB. Элемент матрицы произведения, стоящий на пересечение строки i и столбца j равен . Сумма  является разложением по строке j определителя матрицы, отличающейся от матрицы A только строкой j, вместо которой стоит строка i. Если , то эта матрица имеет две одинаковые строки и ее определитель равен 0. Если i=j, то получаем матрицу A. Таким образом, элемент матрицы произведения, расположенный на пересечении строки i и столбца j равен 0 при  и 1 при i=j, то есть AB=E. Аналогично, проверяется равенство BA=E.Следовательно, матрица B –  обратная к A.

Следствие 6.1 Если BA=E или AB=E, то .

Доказательство. Если BA=E, то матрица A – невырожденная, и к ней существует единственная обратная матрица. Далее,  или .

Правило Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству . Решение системы существует и единственно. Элемент обратной матрицы, расположенный на пересечении строки i и столбца j равен . Следовательно, i-ая компонента x равна . Сумма  является разложением по столбцу i определителя матрицы, отличающейся от A столбцом i, равным b. Обозначим через  значение этого определителя. Тогда . Оформим полученные результаты в виде теоремы.

Теорема 6.2 (Правило Крамера). Квадратная система уравнений с невырожденной матрицей имеет единственное решение, компоненты которого находятся по формулам , где  значение определителя матрицы, отличающейся от A столбцом i, равным b.