Классическое определение вероятности

Понятие случайного события

Классическое определение вероятности

 

Случайное событие – одно из первичных в теории вероятностей. При формальном аксиоматическом построении теории вероятностей случайное событие рассматривается как неопределяемое понятие, свойства которого раскрываются в системе аксиом.

Случайные события не существуют сами по себе, они возникают как результат некоторого действия, опыта, наблюдения. Будем использовать чаще всего термин «опыт». Любой опыт характеризуется определенной совокупностью условий, при которых он осуществляется. Например,  измерение массы предмета - опыт, который проводится определенным прибором,  с выбранной  точностью измерения, при определенных физических параметрах окружающей среды  и т.п.

Случайным событием называют любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Обозначать события будем буквами русского или латинского алфавита, например, А, В, С.

Пример 1. Опыт: измерение массы тела человека.

Случайные события, связанные с данным опытом: А - «масса превышает допустимые нормы», В – «масса в пределах физиологических норм», С «масса превышает 50 кг»

Пример 2. Опыт: однократный бросок игральной кости (кубика).

Случайные события: А - «выпадение 1 очка», В – «выпадение 2 очков», С – «выпадение четного числа очков», Е - «выпадение нечетного числа очков», F – «выпадение числа очков, большего 4» и т.д.

 Из примеров следует, что случайные события не существуют в единственном числе, у каждого из них должно быть, по меньшей мере, альтернативное событие. Можно сказать, что под   случайными  понимаются наблюдаемые события, каждое из которых обладает возможностью реализоваться в данном опыте.

Если в результате опыта обязательно должно произойти одно и только одно из нескольких событий А_1, А_2, А _n, то говорят, что данные события образуют полную группу (систему) событий.

Пример 3. При бросании игрального кубика можно определить полную группу, состоящую из следующих событий: «выпадение одного очка», «выпадение двух очков», «выпадение трех очков», «выпадение четырех очков», «выпадение пяти очков», «выпадение шести очков».

Но, для этого же опыта можно выделить и другие полные группы событий. Например: «выпадение четного числа очков» и «выпадение нечетного числа очков».

В этом примере важно увидеть и еще один важный момент: любой бросок кубика дает конкретное число очков, поэтому группа событий, приведенная первой для этого опыта, состоит из конкретных результатов (исходов) этого опыта. Во втором варианте случайные события наступают при появлении одного из возможных результатов опыта. Выпало два очка, или четыре, или шесть – любой из этих вариантов приводит к наступлению случайного события «выпало четное число очков». В этом случае приведенные исходы опыта являются благоприятными для наступления данного события.

Важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления, а также правильно анализировать отношения между событиями, возникающими в одном опыте.

Достоверным событием называют такое событие,которое обязательно произойдет при осуществлении данного опыта, т.е. любой исход опыта для него -благоприятный. Обозначается достоверное событие - D.

Невозможным событием называют событие, которое никогда не происходит при осуществлении данного опыта, т.е. ни один из исходов опыта не будет для этого события благоприятным. Обозначается невозможное событие - N.

События А_1, А_2, А _n, которые в результате опыта вместе произойти не могут, называют несовместными (несовместимыми) в данной совокупности. Если в одном опыте возможно появление А_1, А_2, А _n, то данные события совместны в этой совокупности. События, образующие полную группу событий, несовместны ни в какой совокупности.

Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными по отношению друг к другу. Для события А противоположное событие обозначается .

Количественная мера возможности наступления случайного события A в результате испытаний при заданной совокупности условий, выраженная числом, называется вероятностью этого события. Вероятность события обозначается обычно P(A). Это качественное определение нельзя считать математическим.

Существуют различные математические определения вероятности, они определяют вероятность количественно.

Классическое определение вероятности события. Пусть опыт имеет n равновозможных исходов, образующих полную группу событий, среди которых m исходов благоприятны для наступления события А, тогда вероятность А есть число .

Классическое определение применяется только при выполнении условий: число исходов опыта конечно; исходы опыта равновозможны и образуют полную группу событий.

В других случаях формула классической вероятности не применима.

Из данной формулы легко получить следующие утверждения.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1:   

2. Вероятность невозможного события равна 0:

3. Для любого события выполняется равенство: .

4. Для любого события: , где .- событие, противоположное А.

При решении задач на определение вероятности события полезно в анализе условий пользоваться следующей схемой:

1) Определить, в чем состоит опыт.

2) Что представляет собой элементарный исход опыта (элементарное событие пространства событий)?

3) Сколько равноправных исходов имеет опыт (сколько элементарных событий содержит пространство событий)? Если это число конечно - можно применять формулу классической вероятности.

4) В чем состоит событие, вероятность которого нужно найти?

5) Сколько благоприятных исходов для этого события имеет данный опыт?

6) Воспользоваться формулой классической вероятности.

Пример 5. Абонент забыл две последние цифры номера и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран верно.

Решение. Опыт наудачу набирается две последние цифры номера.Различных исходов опыта столько, сколько существует двузначных чисел, записанных разными нечетными цифрами. Таких чисел 5×4 = 20 (используем комбинаторное правило произведения).

Событие А – абонент набрал верный номер. Из этих 20 возможных вариантов набора только один верный, следовательно, m=1, n=20 и .

Ответ. Вероятность того, что номер набран верно, равна 0,05.

Отметим слабые стороны классического определения вероятностей. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов опыта конечно. На практике же часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно или трудно подается учету. В классическом определении вероятности понятие равновозможны фактически означает равновероятны. Предполагается, что вероятность каждого элементарного исхода , что в реальных испытаниях не всегда выполнимо, т.е. вероятности элементарных исходов могут различаться.

Поэтому наряду с классическим определением используют статистическое определение вероятности, основанное на понятии относительной частоты. Относительная частота есть  отношение числа испытаний , в которых событие  появилось к общему числу  фактически произведенных испытаний:

.

Основным свойством относительной частоты является ее устойчивость, которое состоит в том, что с ростом числа испытаний  относительная частота стабилизируется, колеблясь около постоянного числа .

Статистическое определение вероятности. Предельное значение относительной частоты при неограниченном возрастании числа испытаний называют статистической вероятностью:

.