Краткие теоретические сведения о каноническом методе синтеза комбинационных схем

ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ

 

Цель работы:

- изучить канонический метод синтеза комбинационных схем;

- построитьлогическую схему простейшего комбинационного устройства;

- изучить работу основных логических элементов.

 

Краткие теоретические сведения о каноническом методе синтеза комбинационных схем

 

Схемы, построенные только на логических элементах и не содержащие элементов памяти, называют комбинационными. С помощью логических элементов можно построить схемы, реализующие те же функции, что и переключающие контакты реле.

Пусть сигнал через переключающий контакт реле перемещается от входов и  к выходу (рис.1).

Рис.1 – Переключающий контакт реле

 

При отсутствии напряжения на обмотке реле () выход  соединен с входом . Выражение, описывающее работу контакта в этом случае, имеет вид:

(1)

При наличии напряжения на обмотке реле () выход  соединен с входом :

(2)

Работапереключающего контакта реле описываетсябулевой функцией  аргументов ,  и :

(3)

Данную функцию можно реализовать с помощью логических элементов как дизъюнкцию двух конъюнкций  и (рис.2).

 

Рис.2 – Логическая схема коммутатора К2-1(&)

Полученное устройство с двумя входами и одним выходом выполняет те же функции, что и переключающий контакт реле.Назовем его коммутатором и обозначим как К2-1(&).

С другой стороны:

(4)

Данную функцию также можно реализовать с помощью логических элементов как конъюнкцию двух дизъюнкций  и  (рис.2.3).

 

Рис.3 – Логическая схема коммутатора К2-1(1)

Полученный коммутатор обозначим как К2-1(1).

Для обоих коммутаторов введем условное графическое обозначение (рис.4).

Рис.4 – Условное графическое обозначение коммутатора К2-1

Если сигнал через переключающий контакт реле перемещается от входа  к выходам  и , то работа такого устройства описывается двумя булевыми функциями и аргументов  и .

При отсутствии напряжения на обмотке реле () выход соединен с входом , следовательно, выражение, описывающее работу схемы, имеет следующий вид:

(5)

При наличии напряжения на обмотке реле () выход соединяется с входом :

(6)

Работа такого переключающего контакта реле описывается двумя булевыми функциями:

(7)

Полученное устройство с одним входом и двумя выходами также назовем коммутатором и обозначим как К1-2. Логическая схема и условное графическое обозначение этогокоммутатора приведены на рис.5.

a)                                                                   б)

Рис.5 – Контакт К1-2:

а) – логическая схема; б) – условное графическое обозначение

Существуют различные методы синтеза комбинационных схем. Рассмотрим канонический метод синтеза, предусматривающий поэтапный переход от таблицы истинности булевой функции к комбинационной схеме.

Таблица истинности булевой функции составляется на основании условия работы устройства. Такая таблица содержит  столбцов и  строк, где  – число аргументов булевой функции. Например, если устройство имеет три входа и один выход , то таблица истинности булевой функции  будет содержать четыре столбца и восемь строк.

Столбцы значений аргументов заполняются по стандартной форме: в первом столбце сначала следует  нулей, а затем  единиц. Во втором столбце чередуются  нулей и  единиц, в третьем столбце чередуются  нулей и  единиц и т.д. В построенной таким образом таблице строки аргументов  представляют собой  натуральных десятичных чисел, записанных в двоичной форме счисления, начиная с нуля. Последний столбец таблицы является столбцом значений функции и заполняется для каждой строки на основании условий работы данного устройства.

Построим таблицу истинности для устройства, имеющего три входа и один выход . Причем, известно, что на выходе появляется лог.1 только тогда, когда имеются единицы на двух любых входах (табл.1)

Табл.1 – Таблица истинности устройства

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

 

Каноническая таблица строится по таблице истинности булевой функции. Для функции от переменных каноническая таблица состоит из  столбцов (столбцы нумеруются, начиная с нулевого). Последний столбец содержит значения функции , которые переписываются из таблицы истинности. В промежуточные столбцы записываются значения чисел, количество которых равно , где  – номер промежуточного столбца при счете, начиная с нулевого столбца. Числа, образующие столбцы канонической таблицы, называются номерами.

Рассмотрим методику построения канонической таблицы. Разбиваем номера последнего столбца на пары и нумеруем каждую полученную пару. При нумерации пар следует придерживаться такого правила: разные пары  нумеруются разными натуральными числами  (при этом одинаковые пары одного столбца нумеруются одинаковыми числами); пары из равных номеров  нумеруются этим же номером . Полученные таким образом  номеров образуют  столбец канонической таблицы и соответствуют .

Пример построения канонической таблицы истинности заданной булевой функции, приведен на рис.6.

Рис.6 – Каноническая таблица

Каждый номер , соединенный с вершинами , образует куст с входной вершиной и выходными вершинами – верхней  и нижней . Если в столбце функции нет кустов с верхней и нижней вершинами равными нулю, то нумерация предыдущего столбца канонической схемы начинается с единицы.

Построение структурнойтаблицы проводится по столбцам канонической таблицы от столбца  к столбцу . При продвижении в каждом -м столбце отыскиваем группу одинаковых номеров. Один из этих номеров отмечаем, а у неотмеченных номеров этой группы исключаем кусты, соединенные с выходными вершинами в соседних столбцах.

Если в каком-либо столбце имеется куст, у которого входная вершина и две выходные совпадают, то он заменяется отрезком на концах с этим же номером. В последнем столбце канонической таблицы все 1 и 0 заменяем на одну единицу и один ноль и к ним подводим все полученные отрезки.

Например, для канонической таблицы, изображенной на рис.7, а построение структурной таблицы приведено на рис.7, б-д.

а)                           б)                                       в)                           г)                           д)

 

Рис.7 – Структурная таблица

Для того чтобы построить структурнуюсхему комбинационного устройства по структурной таблице, нужно в полученной структурной таблице заменить каждый куст столбца  переключателем, состояние которого зависит от значения . В контактной схеме обозначает замкнутый контакт, а  – разомкнутый контакт. Если же совмещены два контакта  и  в один, то они образуют переключающий контакт. Таким контактом реализуется один куст канонической таблицы. Причем будем считать, что куст с верхней выходной вершиной реализует контакт , а с нижней – .

Рассмотрим модификацию структурной таблицы, изображенной на рис.7, по выше приведенным правилам (рис.8).

 

Рис.8 – Модифицированная структурная таблица

Если кусты в данной таблице заменить коммутаторами К2-1 либо К1-2, то можно получить две различные структурные схемы. Структурная схемана рис.8, реализованная на коммутаторах К2-1, изображена на рис.9.

Рис.9 – Структурная схема

Схемуна рис.9 можно упростить. Так как на коммутатор с выходом 2 поданы сигналы , , то , т.е. этот коммутатор можно исключить, а сигнал непосредственно подавать на коммутатор с выходом 5. На коммутатор с выходом 3 поданы сигналы , , тогда , т.е. этот логический узел можно заменить элементом НЕ. На коммутатор с входом 6 подан сигнал , тогда , т.е. данный коммутатор можно заменить схемой:

 

Таким образом, после соответствующих упрощений схема, приведенная на рис.9 примет вид, показанный на рис.10.

 

 

Рис.10 – Упрощенная структурная схема

По упрощенной схеме строим логическую схему устройства (рис.11)

Рис.11 – Логическая схема