.
, , , , . , , . , : , .
:
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) .
, , , , .
. , , .
a A. : a A. - , a A " a A " " a A ".
a A, : a A.
, , .
, , U. .
.
1.
, .
, { , , , , }.
, . , , , .
, : N = { 0, 1, 2,... }. { 0, 2, 4,... }, " ".
2.
|
|
.
.
, - , . , , .
. , , : {(x, y) | x y } - , .
{ 2 n | n N } - .
3.
. A, 5 5- 1.
, , .
4.
. , . , .
. . , .
, :
A A C
B B
B A, B A.
B A, B A 堠 B A, - . B A , A B. , B A. .
, A : A.
, . , A B , A B B A.
A B - . .
A B C, : { x | x A x B }, .. , . , A B A B.
:
A A B
A B
2.
A B { x | x A x B }, .. A B , . Ç, A B A Ç B.
|
|
:
A B
A Ç B
A B :
{ x | x A x B }, .. A B A, B. \, A B A \ B.
A B :
A B
A \ B
, A. U A A. A .
4.
A B {(x, y) | x A y B }, .. A B , A, - B. ´, A B A ´ B.
, .
B
A
A B . - , , , A B.
, R - , R R R2 . .
, R3 . .
A - , 2A A .
.
1. , A, B C 1 - 7 .
A 1 2 3 B
45 6
C 7
2. (A´B) Ç (C´D) = (AÇC) (BÇD) (A´B)È(C´D) = (AÈC) ´ (BÈD).
, , .
A , | A | . .
.
A B , .
(a, b), A, B. a A , a. , b B , b.
A , A.
, . . A | A |.
|
|
A - , { 1, 2,..., k } N. A, k , k .
.
A -, N. - 0.
A , -. , , . N, A.
. - , .
. , A B, B C, A C.
.
1.1
.
A B - . .
1. A B - , A È B , .. .
2. A - , B - -, 蠠 A ={ a 1,..., a k }, B = { b 1,..., b i,...}, A B A B { 1,..., k } .
A , B. { a j 1,..., a jl }, .
{ a j 1,..., a jl, b 1,..., b i,...}, , , N.
3. A B - -. :
A = { a 1,..., a i,...}, B = { b 1,..., b i,...}.
, , : a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ..
, .
ࠠ A È B 蠠 c 1,..., c j,....
A È B , , c i i.
, A È B - .
.
. , .
, . - , .. , : A = .
A 1 ... Ai... Ai = { a i 1,..., a ij,...}.
a ij - j - Ai.
, .
1.2
- .
|
|
, Ai - - . .
:
a 1 1 a1 2 a 1 3 ... a 1 j ...
a 2 1 a 2 2 a 2 3 ... a 2 j ...
a 3 1 a 3 2 a 3 3 ... a 3 j ...
.. ....
..........
a i 1 a i 2 a i 3 ... a i j...
........ ..
, , . , , - .
.
.
n, a ij .
:
1) i - i;
2) , ;
3) i - i + 1.
. :
) a ij (i + j -1) , , , , a ij, :
1 + 2 +... + i + j - 2 = (i + j - 1) (i + j - 2) / 2;
b) a ij j- i + j - 1.
a ij : ((i + j - 1) (i + j - 2) / 2) + j.
1. , Ai .
2. , - .
1.3
A A 2 A .
. A 2 A .
Bx - , x Î A.
D = { x | x Bx }. A, A, . - y A By = Æ, y D. , D ¹ Æ.
y A D = By.
:
) y By;
b) y By.
: y By, y D, .. y By.
: y By, y D. y By, .. .
A 2 A .
.
, . .
A B . A B A B.
A , B - .
.
f - A B, f: A B.
f: A B a A b B. , f a b, f (a) = b.
f: A B, f (A) , f A.
f: A B A B ( ), f (A) = B. A B.
f , A B.
. f , B A. f - , B A.
|
|
, (. 1.1):
A B
a f 3
b 1
c 2
d
. 1.1
A B , f, A B, - , A B.
(. 1.2), .
A B
a f
b x
c y
d z
. 1. 2
f , f (a) = f (c). , f - , y A.
f: A B. f -1 B A, : b B, f -1 b A, f b.
f -1(b). f -1 :
f -1(x) = { a, c, d }, f -1(y) = , f -1(z) = { b }.
f -1 B , , B , . ( ), f, , B A. , f .
1.4
f , f .
. f: A B . , B f A. f (A) = B, .. f - .
f -1 - , f b B a A. , f - .
. f - . b B f a A, .. f -1 .
.
f: A B g: B C. h: A C, h (a) = c ,
f (a) = b , g (b) = c, . f g h = .
h f g. . 1.3.
A B C
h
a f b g c
. 1.3
. , , .. f, g, h, , : .
. , . , .
f: A B A = A 1 ´... ´ A n. f f (x 1,..., x n). x 1,..., x n A.
i - { 1,..., k }, : g: D 1´... ´ D k A i, g (v 1,..., v k). { w 1,..., w m} - f, x i g.
f g, g (v 1,..., v k) f x i, 堠 h (w 1,..., w m), (a 1,..., a m) w 1,..., w m
h (a 1,..., a m)= f (b 1,... b i - 1, d, b i + 1,, b n).
b 1,... b i - 1, b i + 1,, b n - x 1,... xi - 1, xi + 1,, x n 堠 (a 1,..., a m), d = g (s 1,..., s k), s 1,..., s k - v 1,..., v k, .
f g f (x 1,... xi - 1, g (v 1,..., v k), xi + 1,, x n).
f , f , f.
f (x 1,..., x n) g 1 (v 1,1,..., v 1, k 1),..., g n (v n ,1,..., v n , k n) , :
f (g 1 (v 1,1,..., v 1, k 1),.,..., g n (v n ,1,..., v n , k n).
, , .
t f .
, - , t .
, f .
. , , , , - . , , . , , - , , - .
, . ( ) ( ). : - . , - . .
, , , . , .
, : " ". , , .. , . , .
. . , .
, , :
1) , ;
2) , ;
3) , " " - .
, " " .
. , . :
1) , ;
2) , ;
3) , , , " " .
, , .
, , . . , . , , , .
, , , .
, . , .
, , .
, , :
: " , - ";
: " , - ".
, , , , .
, , , .
, , , ( , ).
, , , .
, :
" , , ".
, , . , , , , .
, , . , .
, - , . . - .
. , , , . , , .
, - .
, , , , .
, , . , .
, , .
. , .
, x y . x , y - .
: x y x y z , x y .
: , , , , .
:
(x, y), (x, y), - (x,y, z), (x, y).
, :
.
: (x, y, z). x - , -, .. , y - , , z - , y z.
:
(, , I );
(, , ).
t , - f .
P - (), n - , x1,..., xn, A 1,..., An. P , A 1 ´... ´ A . A 1 ´... ´ A .
, P , .
P , - .
, , , .
3, - 2. 1 2 .
, :
(x