Решение одношаговой задачи в рамках байесовского подхода

Определим оптимальную оценку  вектора состояния  в расширенном пространстве состояния как условное математическое ожидание

Рассмотрим одношаговую задачу в рамках байесовского подхода

полагая, что известна совместная плотность распределения величин

В такой постановке оптимальная задача оценивания вектора  может быть решена как

при этом действительная ковариационная матрица ошибки оценки определяется выражением

Оптимальные оценки в классе линейных оценок

Упрощение решения задачи оценивания можно достичь, ограничив класс получаемых оценок

Рассмотрим поиск оптимальных оценок в классе линейных оценок вида

Где  и - математические ожидания параметров

 

Нетрудно видеть, что

.

Такая байесовская оценка называется несмещенной

Определим ковариационную матрицу ошибки оценки

 

Выделим теперь из этого выражения полный квадрат

 

С учетом того, что первое слагаемое, по крайней мере, положительно полуопределенная матрица, очевидно, что минимальное значение будет достигаться при

 

При этом минимальное значение ковариационной матрицы будет равно

Из выражения для оценки и ковариационной матрицы вытекает, что они могут быть вычислены, если известны параметры , , , .

Решение линейной задачи

Будем полагать, что известна совместная плотность распределения с матрицей вторых центральных моментов

 

,

 

 а измерения линейны

.

В этом случае можем записать для вектора   выражение для ковариационной матрицы

Если ошибки не коррелированны, т.е.  имеем

 и, как следствие формулы оптимального линейного фильтра принимают вид

Линейный оптимальный алгоритм в линейной задаче не зависит от вида распределения оцениваемого вектора и ошибок измерения.

 

Решение нелинейной задачи

Рассмотрим решение нелинейной задачи, полагая, что известна совместная плотность распределения

Для использования линейного оптимального алгоритма необходимо знание следующих параметров:, , , .

Эти параметры могут быть определены следующим образом

Отметим, что кроме знания моментов требуется также знание плотности распределения

Пример

, , -диагональная матрица

Введем обозначения

. Вектор

 

Тогда

Здесь учтено, что нечетные центральные моменты гауссовской плотности равны нулю.

Рассмотрим .

Нетрудно заметить, что для случая некоррелированности компонент вектора

это произведение будет диагональной матрицей с элементами

.

Рассмотрим члены

и произведение

.

Нетрудно заметить что это произведение будет матрицей содержащей ненулевые элементы вида

 

 Байесовский подход. Оптимальные оценки

Выше было показано, что для нахождения оптимальной оценки в рамках байесовского подхода требуется вычисление интеграла

 

,

при этом средняя действительная ковариационная матрица ошибки оценки определяется выражением

,

а условная ковариационная матрица выражением