Примеры микросостояний в разных статистиках

 

    Пусть некоторое макросостояние представляет собой возможные размещения двух тождественных частиц a и b в трех состояниях (ячейках).

 

 

    Покажем, какими микросостояниями может быть реализовано это макросостояние в трех статистиках.

 

    Квантовая статистика Бозе – Эйнштейна.

    Поскольку в квантовых статистиках тождественные частицы принципиально неразличимы, то выбор конкретной частицы на определенное место делать не нужно.

    Нужно сделать два выбора:

1. выбор числа частиц в ячейке (помещать в ячейку одну или две),

2. выбор ячеек для заполнения для каждого из выбранных чисел частиц в ячейке.

Сами частицы обозначены кружочками.

    Можно разместить в каждой ячейке по одной частице или поместить обе частицы в одну ячейку. Имеем два случая выбора 1.

    Пусть в каждой ячейке будет по одной частице. Тогда одна из трех ячеек останется незанятой – всего три способа размещения.

 

 

    Пусть в одной ячейке будут две частицы. Опять имеем три способа размещения.

 

 

    Имеем всего шесть случаев.

    В квантовой статистике Бозе – Эйнштейна заданное макросостояние может быть реализовано шестью микросостояниями с вероятностью каждого, равной 1/6. Статистический вес данного макросостояния .

 

    Квантовая статистика Ферми – Дирака.

    Поскольку в квантовой статистике Ферми – Дирака тождественные частицы не только принципиально неразличимы, но и подчиняются принципу запрета (в каждой ячейке не более одной частицы), то остается только выбор ячеек для заполнения.

 

 

    В квантовой статистике Ферми – Дирака заданное макросостояние может быть реализовано тремя микросостояниями с вероятностью каждого, равной 1/3. Статистический вес данного макросостояния .

 

    Классическая статистика.

    Поскольку в классической статистике тождественные частицы принципиально различимы, то нужно сделать еще выбор конкретной частицы на определенное место там, где эта частица в единственном числе, а сами частицы обозначить как различимые.

 

                                                

 

 

                                                

 

 

                                                                          

                                                                               

 

    В классической статистике заданное макросостояние может быть реализовано девятью микросостояниями с вероятностью каждого, равной 1/9. Статистический вес данного макросостояния .

 

 

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

 

    Термодинамика – часть физики, изучающая процессы превращения теплоты в работу и связанные с этими превращениями свойства различных веществ. Здесь мы будем говорить только об идеальном газе. Идеальный газ – это макросистема, свойства которой описаны с помощью статистического и термодинамического метода.

 

Идеальный газ

 

    В газообразном состоянии молекулы вещества, находятся в непрерывном хаотическом движении, интенсивность которого связана с температурой газа.

    Размеры молекул, как правило, много меньше расстояния между ними. Между молекулами на расстоянии действуют силы притяжения, которые по мере сближения молекул переходят в силы отталкивания.

    Идеальным газом называется газ, между молекулами которого отсутствуют силы притяжения. Все молекулы движутся хаотично с различными скоростями и ударяются друг с другом и со стенками сосуда. Взаимодействие между молекулами идеального газа происходит только в процессе их соударений, которые считаются абсолютно упругими. Молекулы идеального газа обладают только кинетической энергией.

 

    Введем некоторые обозначения:  – число молекул,  – масса газа, – масса молекулы.

    Число Авогадро, число молекул в одном моле

 

 

    Мольная (молярная) масса – масса одного моля

 

 

    Число молей (количество вещества)

 

 

    Каждое состояние идеального газа задается тройкой термодинамических параметров:  – давление,  – объем газа,  –абсолютная температура.

 

    Давление газа – это усредненный результат ударов молекул о стенки сосуда. Давление равно силе, действующей перпендикулярно на единицу площади, и измеряется в паскалях (Па).

 

 

    Температура – мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул прямо пропорциональна абсолютной температуре газа.

    – абсолютная температура, измеряется в кельвинах (К).

 

 

    Идеальный газ подчиняется уравнению состояния идеального газа

 

 

полученного с помощью статистического метода и связывающего между собой давление, объем и абсолютную температуру газа.

 

 

универсальная газовая постоянная.

    Согласно этому уравнению произведение давления на объем газа прямо пропорционально абсолютной температуре газа:

 

 

    Распределение энергии между молекулами газа.

    Молекулы идеального газа состоят из одного, двух, трех и более атомов, прочем сами молекулы считаются абсолютно жесткими.

    Суммарная энергия жесткой молекулы представляет собой энергию ее поступательного и вращательного движения.

    Средняя энергия одной жесткой молекулы

 

 

Число слагаемых в правой части уравнения называется числом степеней свободы молекулы . Наибольшее число степеней свободы равно 6: три поступательных и три вращательных.

    Почти вся масса атома сосредоточена в его ядре, радиус которого в  раз меньше радиуса атома, вследствие чего момент инерции атома относительно любой оси стремится к нулю. Поэтому у молекулы, состоящей из одного атома нет вращательных степеней свободы.

    У двухатомной молекулы момент инерции относительно оси, проходящей через ядра атомов, стремится к нулю. Поэтому у двухатомной молекулы есть только две вращательные степени свободы.

    У молекул из трех и более атомов, не расположенных на одной прямой, есть все три вращательные степени свободы.

 

Молекула	i
Одноатомная	3
Двухатомная	5
Трехатомная	6

 

    Закон равнораспределения энергии по степеням свободы молекул:

    На каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одна и та же энергия

 

 

где – постоянная Больцмана.

 

 

    Таким образом, средняя энергия одной жесткой молекулы

 

 

 

    Внутренняя энергия идеального газа.

    Внутренняя энергия идеального газа – это суммарная кинетическая энергия всех его молекул.

 

 

 

 

    Изменение внутренней энергии идеального газа

 

 

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры газа.При изотермическом процессе () изменение внутренней энергии равно нулю.

 

 

 

Работа газа

 

    Газ выполняет механическую работу при изменении его объема. При перемещении поршня площади  на расстояние  под действием силы  со стороны газа совершается элементарная работа

 

 

 

                                    

                                                               

 

 

                                                                                  

 

    Для обозначения бесконечно малой работы использована греческая буква , а не латинская буква , так как работа газа не является дифференциалом, то есть разностью, поскольку зависит от вида процесса.

 

 

    Конечная работа вычисляется интегрированием

 

 

 

                          

 

 

                                                                                       

 

                                                                                 

 

 

 

                                                                                

 

    При увеличении объема (расширении газа) работа положительна, при уменьшении объема  (сжатии газа) работа отрицательна При изохорическом процессе () работа равна нулю.

 

Количество теплоты

 

    Количество теплоты – это энергия, которая самопроизвольно переходит от более нагретого тела к менее нагретому.При одних и тех же начальной и конечной температурах требуется разное количество теплоты в зависимости от процесса передачи теплоты.

    Поэтому для обозначения бесконечно малого количества теплоты использована греческая буква , а не латинская буква .

    Элементарное количество теплоты обозначим . При подводе теплоты , при отводе – .

    Процесс, происходящий без теплообмена, называется адиабатическим. В адиабатическом процессе .