Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости.

Лекция 4

Тема: Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру Г на плоскости и двойным интегралом по области, ограниченной данным контуром.

Замкнутый контур Г мы будем считать кусочно-гладким и без самопересечений.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру Г обозначается символом  Замкнутый контур Г начинается в некоторой точке В этого контура и заканчивается в точке В. Интеграл по замкнутому контуру не зависит от выбора точки В.

Определение 1. Обход контура Г считается положительным, если при обходе контура Г область D остаётся слева. Г⁺ - контур Г обходится в положительном направлении, Г ^- - контур обходится в отрицательном направлении т.е. в противоположном направлении

Г+

D

Теорема. Если P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными  в ограниченной замкнутой области D, то справедлива формула Грина:

Где Г=

Г⁺ означает, что контур Г обходится в положительном направлении.

Доказательство. Доказательство проведем для односвязной области D, т.е. Г=  состоит из одного замкнутого контура. При этом вначале будем предполагать, что любая прямая параллельная оси 0Х или 0Y пересекает Г не более, чем в двух точках.

 

0

X

Y

c

d

X= x1(y)

X= x2(y)

a

b

B

C

Y= y2(x)

Y= y1(x)

m

n

Рассмотрим двойной интеграл

.

 

         

                                                        (1)

 

Аналогично доказывается, что:

                                                                                       (2)

Из равенств (1) и (2) получаем:

 

Следовательно,

Формула Грина при сделанных предположениях доказана.

Замечание 1. Формула Грина остаётся справедливой, если граница Г  области D некоторыми прямыми, параллельными оси 0Х или 0Y пересекается более чем в двух точках. Кроме этого формула Грина справедлива и для n-связных областей.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости.

В этом параграфе выясним условия, при выполнении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек интегрирования.

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл  не зависел от пути интегрирования в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру в этой области равнялся нулю.

 Доказательство: Необходимость. Дано:  не зависит от пути интегрирования.  Требуется доказать, что криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Пусть в рассматриваемой области D взят произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур Г. На контуре Г возьмем произвольные точки B и C.

Г

D

n

m

B

C

Так как  не зависит от пути интегрирования, то

        , т.е.

 

Достаточность. Дано: Криволинейный интеграл  по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Требуется доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл по двум кусочно-гладким контурам, соединяющим точки B и С. По условию:

  т.е. криволинейный

интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2. Пусть  непрерывны вместе с частными производными  и  в односвязной области D. Для того, чтобы криволинейный интеграл  не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось тождество  

Доказательство: Достаточность. Дано:  . Требуется доказать, что  не зависит от пути интегрирования. Для этого достаточно доказать, что  равен нулю по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру. По формуле Грина имеем:

Необходимость. Дано: По теореме 1 криволинейный интеграл  не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что  

Доказательство: Доказательство проведем от противного. Предположим, что

, т.е.  в некоторой точке М₀(x_0,y₀). Пусть для определенности _M0>α>0. По условию  и непрерывны в точке М_0, поэтому существует круг u(М_0,r) c центром в точке М₀ некоторого радиуса r>0, который лежит в области D и в котором выполняется неравенство  - _M0>α. Окружность с центром в точке М₀ радиуса r обозначим через γ. По формуле Грина имеем:

,

что противоречит условию, т.к. по условию криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и по теореме 1. криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.▼