Ряды Фурье для  2  периодической функции.

Лекция 15

Тема: Ряды Фурье для 2  периодической функции. Теорема Дирихле.

Ряды Фурье для  2  периодической функции.

Пусть на [a,b] задана система функций

Определение 1. Система функций  называется ортогональной на [a,b], если , s w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> .

Предварительно докажем, что тригонометрическая система 1, Cosx, Sinx, Cos2x, Sin2x,…Cosnx, Sinnx,… ортогональна на отрезке [ ].

1) =0, n = 1,2,…

2) =0, n = 1,2,…

3) =0, n

4) r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> =0

5) r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> =0, n

Вычислим еще следующие интегралы:

=  -  n = 1,2,…

= .   n=1,2,…

Пусть дан тригонометрический ряд:

    , который сходится к S(x). S(x) должна быть 2  – периодической.

    Будем предполагать, что равенство (1), умноженное на cosnx или sinnx, можно почленно интегрировать.

В результате получим:

,в силу ортогональности тригонометрической системы.

; π  ,  , n=1,2,…

 

+  

 ,  , n=1,2,…

      Таким образом, зная сумму тригонометрического ряда, можно найти коэффициенты тригонометрического ряда.

      Пусть дана 2   периодическая функция f(x) для которой существуют интегралы:

 ,  ,  , n=1,2,…

      Функции f(x) можно поставить в соответствие тригонометрический ряд:

f (x)  

                                                                            (2)

      Ряд (2) называется рядом Фурье функции f(x),

, n=0,1,2,…,  , n=1,2,…

называются коэффициентами ряда Фурье. Предварительно дадим два определения.

      Определение 2. Функция f(x) называется кусочно - непрерывной на отрезке, если данный отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция является непрерывной.

      Определение 3. Функция f(x) называется кусочно - монотонной на отрезке, если отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция не убывает либо не возрастает.

       Теорема Дирихле.

Если 2   периодическая функция на отрезке  кусочно –непрерывна, кусочно- монотонна и ограничена, то она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к значению функции, а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа, т.е. .

    Разложение четных и нечетных 2  периодических функций в ряд Фурье.

1) f(x) - четная функция, тогда

, n=0,1,2,…, т.к. подынтегральная функция является четной

 =0, n=1,2,… т.к. f(x)Sinnx нечетная функция.

f(x) .

2) f(x)- нечетная функция, тогда

, n=0,1,2,…,т.к f(x) Cosnx- нечетная функция.

 =

f(x) .

     Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x,

     Решение. Данная функция в промежутке ) монотонна, непрерывна и ограничена. Следовательно, по теореме Дирихле она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к f(x), а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. Функцию f(x) периодически продолжением с периодом 2 . Ряд Фурье в точках x= (2k+1) , которые являются точками разрыва 1 го рода, сходится к нулю.

     Так как данная функция нечетная, то , n= 0,1,2,…

 = | +

           

d v =Sinnxdx, v = -

=

f(x)= 2 .

     Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)= |x|,

     Решение. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле, поэтому она разлагается в ряд Фурье.

Функцию f(x) периодически продолжением с периодом 2 .

 

-

2

3

Ряд Фурье в точках разрыва 1 го рода х= (2к+1)  сходится к . Так как функция f(x) четная, то s w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>=0,</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">  n= 1,2,… При вычислении  надо вычислить отдельно.

 = | ,

d v = Cosnxdx, v =

= -1)=

f(x)= .