Ранг и дефект линейного оператора.

 

Для доказательства основной теоремы этого параграфа потребуется понятие прямой суммы подпространств.

Пусть  и  – два подпространства линейного пространства . Их суммой  называется множество всех векторов , где  и , т.е.  

Легко проверить, что  также будет подпространством L.

Сумма  называется прямой, если из того, что , где  и  следует, что  и .

Определим также и пересечение двух подпространств  которое также будет подпространством . Именно

 и

ТЕОРЕМА (о прямых суммах подпространств). Сумма подпространств  и  будет прямой тогда и только тогда, когда .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – прямая сумма подпространств  и , но есть вектор  такой, что  Тогда, так как также является подпространством, то , и получается, что нулевой вектор можно представить двумя различными способами . Таким образом, приходим к противоречию определения прямой суммы.

Обратно, пусть , но сумма  не прямая. Значит найдется  и  такие, что , но  Так как  и , то  содержит ненулевой вектор  Опять приходим к противоречию. □

ТЕОРЕМА (о размерности суммы двух подпространств). Размерность суммы двух подпространств пространства  равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть  и  – подпространства,  и   их размерности, а  размерность их пересечения. Рассмотрим некоторый базис , скажем , и дополним его до базисов  и  пространств  и .

Докажем, что система

,                                   (3)

состоящая из  векторов является базисом подпространства , тем самым будет доказана и теорема.

Ясно, что любой вектор  и , а значит и вектор  линейно выражается через векторы системы (3), т.к. содержит базисы  и . Осталось проверить, что система (3) линейно независима. Предположим, что

      (4)

Пусть  Понятно, что . Но

.                         (5)

Правая часть этого равенства есть вектор из , т.е. . Окончательно, . Значит в выражении (5) отсутствуют члены с  т.е. . Отсюда и из (4) заключаем, что

.

Так как система  является базисом , то она линейно независима и поэтому  □

Если сумма  прямая, то размерность  по теореме о прямых суммах равна 0, и поэтому получаем

СЛЕДСТВИЕ. Размерность прямой суммы двух подпространств равна сумме их размерностей. □

Пусть  линейный оператор  и

Нетрудно проверить, что  и  подпространства , называемые областью значений и ядром линейного оператора . Размерность  называется рангом, а размерность   дефектом .

ТЕОРЕМА (о ранге и дефекте). Сумма ранга и дефекта линейного оператора φ равна размерности пространства .

ДОКАЗАТНЛЬСТВО. Пусть  и  ранг и дефект . Выберем в  базис  и обозначим через  векторы такие, что  

Они линейно независимы, т.к. из равенства  следует, что  а поскольку  линейно независимы, то

Обозначим через  подпространство, порожденное векторами  Они образуют базис  и поэтому размерность подпространства  равна . По предыдущему следствию достаточно теперь доказать, что  является прямой суммой  и . покажем, что  Любой вектор  имеет вид  Если , то , т.е. . Но векторы  линейно независимы и поэтому , откуда .

Покажем теперь, что . Возьмем вектор . Но  и поэтому  Пусть  и . Так как , то . Следовательно . Имеем , где  и , что и требовалось доказать. □