Особенности десятичной системы счисления

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и введением понятия нуля.

Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систему арабы, поэтому ее часто называют арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используют 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

Например: 5437 – краткая запись числа «пять тысяч четыреста тридцать семь». Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 30 + 7 или 5 · 10³ + 4 · 10² + 3 · 10 + 7.

Десятичной записью числа х называется его представление в виде:

х = а_п · 10 ^п + а_{п- 1} · 10 ^{п- 1} + … + а ₁ · 10¹ + а₀ · 10⁰,

где а_п, а_{п- 1}, …, а ₁, а₀ принимают значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и а_п≠ 0.

Числа 1, 10, 10², 10³, …, 10 ^{п- 1}, 10 ^п называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.

Краткая запись числа выглядит так: а_па_{п- 1} … а ₁ а ₀.

Данная система записи чисел называется десятичной, так как 10 является основанием системы, то есть 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего разряда.

В целях подготовки к усвоению десятичной системы счисления старшие дошкольники знакомятся с цифрами, учатся считать группами (в том числе десятками). Младшие школьники, знакомятся с десятичной системой счисления, выполняют задание: «Представь число в виде суммы разрядных слагаемых», учатся называть разряды и классы.

Три первых разряда образуют классы единиц, следующие три разряда – класс тысяч, затем идет класс миллионов и др. (рис. 91).

Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.

 

Классы	…	миллионов			тысяч			единиц
Разряды	…	сот. млн.	дес. млн.	ед. млн.	сот. тыс.	дес. тыс.	ед. тыс.	сот.	дес.	ед.

 

Рис. 91

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать уже с дошкольниками. Например.

1) «Отсчитаем 10 палочек. Перевяжем их. Это десяток. Десяток можно назвать «дцать». Положим на десяток палочек еще одну. Всего одиннадцать палочек – «один на дцать».

2) «Возьмем две связки. Это два десятка. Можно сказать «два дцать».

Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.

 

Задание 69

- Представьте число 345 679 в виде суммы разрядных слагаемых.

- Покажите краткую запись числа 8 · 10⁵ + 7 · 10⁴ + 6 · 10 + 8.

- Запишите наибольшее и наименьшее трехзначные числа.

- Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем десятков в два раза больше единиц. Найдите это число.

 

В десятичной системе счисления действия с многозначными числами выполняют по правилам, называемым алгоритмами. Запись сложения, вычитания и умножения выполняют столбиком, а деления – уголком, это умение становится доступным уже младшим школьникам. В основе вычислений лежат некоторые теоретические знания. Например, при сложении используются:

- способ записи числа в десятичной системе счисления;

- законы сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

 

Задание 70

Вспомните правила сложения, вычитания, умножения, деления многозначных чисел в десятичной системе счисления. Приведите примеры.

 

 

Опорный конспект к теме

«Натуральные числа и нуль»

 

                                                                               

                             

 

 

 

   

 

 

Свойства натурального ряда

- имеется начальный элемент – число 1; - за каждым числом непосредственно следует только одно число; - каждое последующее число на 1 больше предыдущего числа, а каждое предыдущее на 1 меньше последующего (п ± 1).

 

 

Действия над числами