Обработка результатов косвенных однократных измерений

Пусть физическая величина Y, представляет собой дифференцируемую функцию Y = F (X ₁, X ₂,..., X _n)  и X ₁, X ₂,…, X _n - независимые результаты прямых измерений значений аргументов X₁, X ₂,…, X _n. Погрешности измерений: абсолютные систематические погрешности  ∆ _{Х 1}, ∆ _{Х 2},…, ∆ _{Х n};  абсолютные среднеквадратические случайные  погрешности , ,…, .

Абсолютная систематическая погрешность результата  косвенного измерения определяется:

                   .                            (19)

Абсолютная среднеквадратическая случайная погрешность:

 

          ,                 (20)

где  - частные производные.

 

Относительные погрешности δ _СИСТ и δ _СЛ находятся по формулам:

            ;                     (21)

.                   (22)

 

Примеры

1) Сопротивление R_х измерено с помощью четырехплечего моста и рассчитано по формуле

.

Найдите абсолютную D _{R х} и относительную  δ _{R х} систематическую погрешности результата  измерения, если абсолютные систематические погрешности сопротивлений R 2, R 3, R 4 равны: +1 Ом; -1 Ом; – 1 Ом, соответственно. При этом значения сопротивлений равны: R 2 = 100 Ом; R 3 = 200 Ом; R 4 = 100 Ом.  

Решение

Абсолютная систематическая погрешность результата  измерения сопротивления R _Х находится по формуле (19):

∆_R2 = 1 Ом; ∆_R3 = -1 Ом; ∆_R4 = – 1 Ом

Относительная систематическая погрешность результата измерения сопротивления R _Х находится по формуле (21):

    

            

или

                              

                                 .

2) Определить максимальную абсолютную и относительную погрешности измерения нап-ряжения U в цепи (рис.1). Напряжение U ₁ на резисторе R 1, измеренное вольт-метром  V1 класса точности 0,5 с верхним пределом измерения 100 В, равно U ₁ = 50 В. Напряжение U ₂, на резисторе R 2, измеренное вольтметром V2 класса точности 1,5 с верхним пределом измерения 30 В, равно U ₂ = 25 В.

Рис. 1                                        

Решение

Находим напряжение U:

                       U = U ₁ + U ₂ = 50 + 25 = 75 В.

Находим абсолютную и относительную погрешность измерения напряжения по формуле:

                

                           

Представление класса точности числом 0,5 и 1,5 означает, что класс точности определяется  по  приведенной  погрешности  и  погрешность аддитивная, т.е. ∆ _U  = const.

                         и

Получим 

                       

                  

                    

В случае, если переменные Х_i или функции от них образуют произведение или частное, удобнее пользоваться следующей формулой для подсчета относительной погрешности результата косвенного измерения:

                               ,                                (23)

где ln F есть натуральный логарифм от функции F (X ₁, X ₂, …, X _n).

Пусть функция результата косвенного измерения есть произведение трех величин, полученных из прямых измерений:

                                 

Прологарифмируем функцию Y:

                         .

Затем дифференцируем ее:

                          

и перейдем к малым конечным приращениям:

                           .

Отсюда относительная систематическая погрешность:

                    .

Случайная погрешность:

                                   .

Определение параметров переменных напряжений и токов,