Понятие достаточной статистики.

 

 

Критерии согласия.

Предположим, что имеется выборка x₁,…,x_n объема n из генеральной совокупности с неизвестной функцией распределения F(x). H₀: F(x)=F⁰(x), где F⁰(x) – заданный закон распределения (функция распределения).

Гипотеза такого вида называется гипотезой согласия, а критерий для проверки гипотезы согласия называется критерием согласия.

 

 Критерий согласия - Пирсона.

В критерии - Пирсона в качестве меры отклонения теоретической функции распределения F(x) от эмпирической функции распределения F_n(x) выбирается величина

 

Обозначим через , - число выборочных значений, попавших в интервал , 2.4.2 Критерий существования достаточной статистики.

Минимальные достаточные статистики.

 

Теорема (Пирсона).

Пусть , тогда , где случайная величина  имеет распределение  с (k-1) степенью свободы. , тогда - мало  – небольшое число. Если предположим, что H₀ – верна, то .

Задаем уровень значимости . ,  (% точка распределения X²).

Если  гипотеза H₀ отвергается. Если H₀ согласуется с экспериментальными данными.

Алгоритм следующий:

 

Разбиваем всю числовую ось на k интервалов (отрезков).

Находим .

Производим расчет вероятностей

Рассчитываем

По таблице процентных точек распределения  находим _{критическое}:

Проверяем: - H₀ – отвергается; - H₀– согласуется с экспериментальными данными.

Замечание: Пусть закон распределения  зависит от m неизвестных параметров. Тогда эти параметры заменить их оценками  и проверить нулевою гипотезу в виде: . Тогда оказывается, что теорема Пирсона будет верна с некоторыми поправками и примет вид: . Поэтому предварительно находятся оценки параметров и .

 

Минимальные достаточные статистики.

 Критерий  Мизиса -Смирнова.

Пусть x₁,…,x_n – выборка из генеральной совокупности с неизвестной функцией распределения F(x). Проверить .

В качестве меры отклонения теоретической функции от эмпирической , где -k-ый член вариационного ряда , т.е. . Обозначим через .

Теорема (Смирнова). Если функция распределения F(x) непрерывна, то , который не зависит от вида функции распределения F(x).

Без доказательства.

Имеются таблицы процентных точек, позволяющие находить -% точка).

Находим

Находим  по таблице.

Если , то H₀ отвергается.

Если , то H₀ согласуется с экспериментальными данными.

 

 Критерий Колмогорова.

Имеется выборка x₁,…,x_n и H₀: F(x)=F⁰(x). В качестве меры отклонения теоретической функции распределения F(x) берется .

 

Теорема (Колмогорова).

Если F(x) непрерывна, то . Имеются таблицы процентных точек распределения Колмогорова.

- процентная точка распределения Колмогорова, соответствующая уровню значимости  или .

Алгоритм:

Считаем .

Если , то H₀ отвергается.

Если , то H₀ согласуется с экспериментальными данными.