Примеры исследования рядов на сходимость или расходимость.

Пример 6.18. Исследовать на сходимость ряд

                                       .                                                                         (6.78)

Решение: сначала проверим необходимое условие сходимости ряда

                                       

Теперь сравним ряд (6.78) с расходящимся рядом  По первому признаку сравнения имеем

Так как единица конечное число, то из расходимости ряда  следует расходимость

исходного ряда (6.78).

Ответ: Исходный ряд расходится.

Пример 6.19. Исследовать на сходимость ряд

                                                               .                                                      (6.79)

Решение: Проверим необходимое условие сходимости, пользуясь правилом Лопиталя

                                               

Теперь пользуемся достаточным признаком Даламбера

                                  

Так как , то по признаку Даламбера ряд (6.79) сходится.

Ответ: Исходный ряд сходится.

Пример 6.20. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: Применим достаточный признак Коши

                     

Так как  то по признаку Коши исходный ряд сходится.

Ответ: Исходный ряд сходится.

Пример 6.21. Исследовать на сходимость ряд

                                                                                                     (6.80)

Решение: Применим интегральный признак Коши – Маклорена

                

Так как   конечное число, то несобственный интеграл   сходится. По признаку Коши – Маклорена ряд (6.80) сходится.

Ответ: Исходный ряд сходится.

Пример 6.22. Исследовать на сходимость ряд с произвольными членами

                                               .                                                           (6.81)

Решение: Применим достаточный признак Дирихле. Заметим, что последовательность монотонно убывая, стремится к нулю, а последовательность частичных сумм   ряда   ограничена

                                            .

По признаку Дирихле исходный ряд (6.81) сходится.

Ответ: Исходный ряд сходится.

Пример 6.23. Найти радиус абсолютной сходимости ряда

                                                                                                         (6.82)

и исследовать его сходимость на концах области сходимости.

Решение: по формуле Даламбера

              .

Тогда ряд (6.82) сходится при  или . При  имеем ряд ,

который сходится по достаточному признаку Лейбница. При  имеем ряд , который расходится по интегральному признаку Коши – Маклорена. На самом деле, имеем

    

Ответ:  Ряд сходится при

Пример 6.24. Найти радиус абсолютной сходимости ряда Тейлора для

.

Решение: По формуле (6.61) имеем

.

Ответ:

Пример 6.25. Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд

                       при .

Решение: Так как , то . Легко убедиться, что в этой точке  имеет максимум и .

Составим сходящийся ряд . Очевидно, что  и ряд  является мажорантом для исходного функционального ряда. Тогда по достаточному признаку Вейерштрасса исходный ряд равномерно сходится.

Ответ: Исходный ряд равномерно сходится.

Пример 6.2 6. Найти сумму ряда

                                                      .                                                       (6.83)

Решение: По формуле Даламбера для нахождения радиуса абсолютной сходимости степенного ряда имеем

                                              .

Значит ряд (6.83) сходится при . Заметим, что дифференцируя почленно степенной ряд  внутри своей области сходимости , получим ряд (6.83). Но  по формуле суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической

 

 прогрессии. Следовательно, имеем

                                     .

Ответ:

Пример 6.27. Найти область абсолютной сходимости ряда

                                   .                                                                                   (6.84)

Решение: Найдем радиус абсолютной сходимости ряда (6.84) по формуле Даламбера

                                   

Следовательно, интервал абсолютной сходимости ряда (6.84) определяется неравенством . Исследуем сходимость ряда (6.84) на концах интервала. При  из (6.84) получаем гармонический ряд , который, как известно, расходится. При  из (6.84) получаем знакочередующийся ряд , который абсолютно не сходится, но сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, область сходимости ряда (6.84) определяется неравенством .

Ответ: Исходный ряд абсолютно сходится при  

Ряды Фурье.

Определение 6.16. Функция f(x) называется периодической, если есть постоянное число  такое, что  для любого  из области определения функции . При этом  называется периодом функции . Периодические функции играют исключительную роль в биологических, химических, физических, экономических явлениях и в технике. Достаточно вспомнить любые ритмы в жизни животных, человека, растений, астрономии. Труднее назвать непериодические явления, чем периодические.

   Оказалось, как заметил Фурье, многие периодические функции можно представить в виде бесконечной суммы вида (тригонометрический ряд):

                                                                    (6.85)

Эта сумма называется рядом Фурье, а коэффициенты , и  вычисляются для функции с периодом   по формулам

                        (6.86)

Если функцию можно представить в виде бесконечного ряда (6.85), т.е. разложить в ряд Фурье, то такое разложение единственно.

   В целях простоты изложения теоретических вопросов разложения функции в ряд Фурье предположим, что период рассматриваемой функции . Тогда для такой функции ряд (6.85) принимает вид:

                     ,                                                 (6.87)

где

                      (6.88)

При вычислении коэффициентов Фурье полезно иметь ввиду, что если под интегралом в симметричных пределах от  до  стоит четная функция, то интеграл в два раза больше интеграла в пределах от до , а если нечетная функция, то он равен нулю. Ниже рассмотрим эти два случая.

1.  функция четная.

                                   (6.89)

2. функция нечетная.

                               (6.90)

Пример 6.28. Разложить в ряд Фурье функцию  на

Решение: , так как под интегралом стоит нечетная функция , а интеграл от нечетной функции на отрезке, симметричном относительно начала координат, равен нулю (см. (6.90)). Аналогично  При вычислении коэффициентов  нужно учитывать (6.89). Итак, имеем

                   (6.91)

Тогда, согласно (6.87), получим

                                    

Ответ:

На вопрос, какую функцию можно разложить в ряд Фурье, отвечает теорема Дирихле.

Пусть функция  удовлетворяет условиям:

1. равномерно ограничена, то есть

                      при

2. имеет не более, чем конечное число точек разрыва, и все они первого рода (т.е. в каждой точке разрыва  функция  имеет конечный левый предел  и конечный правый предел .