Числовые ряды с произвольными членами. Достаточные признаки сходимости.

   Если члены U_k ряда  имеют произвольные знаки, то ряд  называется рядом с произвольными членами.

Определение 6.7. Ряд с произвольными членами  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Теорема 6.14. Из сходимости ряда  следует сходимость ряда .

Доказательство. По условию теоремы ряд  сходится. Согласно критерию Коши (см. теорему 6.1) это означает, что

                                         (6.30)

Оценим , пользуясь (6.30) и тем, что модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы их модулей. Имеем

                                                                                                      (6.31)

при . А по критерию Коши (6.31) означает, что ряд  сходится.

Теорема доказана.

Определение 6.8. Ряд  называется условно сходящимся, если он сходится, в то время, как соответствующий ряд из модулей  расходится.

Теорема 6.15. (теорема Римана). Если ряд  с произвольными членами сходится условно, то каково бы ни было наперед взятое число , можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу .

Теорема 6.16. Если данный ряд  с произвольными членами сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

Пример 6.5. Исследуем на сходимость ряд с произвольными членами .

Решение. Составим ряд из модулей .

Этот ряд является рядом с положительными членами. Так как

                                    ,                                                                         (6.32)

а ряд  сходится (см. пункт 6.3), то по первому признаку сравнения (см. теорему 6.7) ряд  сходится. Тогда по теореме 6.14 исходный ряд также сходится.

Ответ: Исходный ряд сходится абсолютно.

Определение 6.9. Ряд  называется знакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки. Знакочередующийся ряд обозначается так

                  ,                                                               (6.33)

где

Теорема 6.17. (достаточный признак Лейбница условной сходимости знакочередующегося ряда).

  Если члены знакочередующегося ряда

,                                                   (6.34)

будучи взятые по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то есть удовлетворяют следующим условиям

а) ,                                                                (6.35)

б) ,                                                                                   (6.36)

то знакочередующийся ряд  сходится.

Доказательство. Частичная сумма ряда (6.34) четного порядка имеет вид

                       (6.37)

Согласно условию (6.35)

.

Тогда очевидно, что  при  не убывает. С другой стороны, выражение (6.37) для  можно представить в виде

.

Так как , то ясно, что для  справедливо неравенство . Таким образом, оказывается, что последовательность частичных сумм четного порядка  не убывает и ограничена сверху. Как известно, такая последовательность сходится к некоторому числу

                                    .                                                                         (6.38)

Частичная сумма ряда (6.34) нечетного порядка . В этом равенстве перейдем к пределу при . Имеем

                                                                                        (6.39)

Учитывая (6.38) и второе условие теоремы, из (6.39) получим

                               .                                                                              (6.40)

Таким образом, как следует из (6.38) и (6.40),  , то есть исходный знакочередующийся ряд (6.34) сходится.

Теорема доказана.