Классическое определение вероятности

     Пусть пространство элементарных событий Ω состоит из n ‘элементарных исходов, и пусть все исходы равновозможны. В этом случае вероятностью случайного события A называется отношение количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к общему количеству всех элементарных исходов, Вероятность события A определяется формулой.

,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A,

n - число всех элементарных исходов в результате проводимого в эксперимента.

 

     В простейших задачах на вычисление вероятности события рекомендуется придерживаться следующей схемы:

1) четко описать проводимый опыт;

2) установить, какой вид имеют элементарные исходы при данном опыте, для наглядности выписать несколько из них;

3) сформулировать событие, вероятность которого требуется найти по условию задачи, словесно и на языке благоприятствующих элементарных исходов;

4) воспользоваться классическим определением вероятности.

Для вычисления количества элементарных исходов (в случае большого их количества) рекомендуется применять специальные формулы комбинаторики

                            Примеры задач с решениями

   Задача 1. В урне находятся 5 бюллетеней с наименованием социально значимых проектов. В трех из них голос отдан за первый проект, представленный РГСУ, в двух – за другой проект, представленный муниципалитетом. Наугад из урны достают 1 бюллетень. Какова вероятность того, что бюллетень будет за проект РГСУ?

Решение.

  Эксперимент состоит в изъятии из урны одного бюллетеня. Поскольку достать могут любой из пяти имеющихся, то элементарных исходов будет ровно 5, .

   Событие А – «достали бюллетень за проект РГСУ». Таких бюллетеней имелось в корзине 3, следовательно, количество благоприятствующих исходов равно трем, .Используем классическое определение вероятности: .

    Ответ: 0.6.

   Задача 2. В пресс-конференции участвуют 10 волонтеров, лишь трое из которых имеют реальный опыт участия в проведении паралимийских игр. Каждому достается ровно один вопрос от аудитории. Найти вероятность, что первые три вопроса достанутся опытным волонтерам.  

 

Решение.

   Занумеруем всех волонтеров числами от 1 до 10. Тогда эксперимент здесь можно понимать как выбор любых трех человек из данных 10, которым и будут заданы первые три вопроса. Следовательно, каждый элементарный исход – это тройка чисел, например,  и т.д., причем в каждой такой тройке числа не повторяются и не важен порядок их расположения.

     Значит, общее количество всех элементарных исходов равно количеству всех сочетаний из 10 по 3 без повторений, то есть .

     Событие A – «первые три вопроса достанутся опытным волонтерам» имеет только один благоприятствующий исход, в котором записаны номера трех опытных представителей. То есть .

     Согласно классическому определению вероятности,

.

    Ответ: .

 

   Задача 3. Среди 10 депутатов 6 человек из партии N, 4 - из партии S. Для участия в международной конференции требуется выбрать 5 депутатов. Какова вероятность, что среди них будет выбрано 2 из партии N и 3 из партии S?

Решение.

    После перенумерации всех депутатов натуральными числами от 1 до 10, получим, аналогично предыдущей задаче, что эксперимент состоит в выборе произвольных пяти чисел из данных десяти без повторений.

    Следовательно, каждый элементарный исход – это пятерка различных натуральных чисел, каждое из которых находится в пределах от 1 до 10, без учета порядка их расположения. Отсюда получаем: . 

   Событие A - «2 депутата из выбранных – из партии N и 3 депутата - из партии S».

    Двух депутатов из партии N мы можем выбрать  способами, трех депутатов из партии S -  способами. Согласно правилу умножения, количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А, равно

.

    Находим нужную вероятность:

.

    Решение задачи удобно проиллюстрировать на следующей схеме:

    Ответ: .

    Задача 4. Шесть законопроектов по ювенальной юстиции случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?

Решение.

  Перенумеруем все папки числами от 1 до 5. Эксперимент будет состоять в выборе шести папок (номеров) из данных пяти (каждая папка, то есть каждый номер может выбираться несколько раз). Поскольку в задача нас интересует только количество документов в каждой папке, то порядок выбора папок не важен. Таким образом, указанный выбор можно осуществить способами (количество сочетаний из 5 по 6 с повторениями):

.

 

  Событие А- «ровно одна папка остается пустой».

  Вычислим количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

  Пусть, к примеру, первая папка остается пустой. В оставшихся четырех папках должно быть хотя бы по одному документу. Следовательно, четыре документа мы разложим по одному в каждую из них. Оставшиеся два документа мы теперь можем положить в любые из данных четырех папок.       Эти две папки можно выбрать  способами.

     Проделав такие же рассуждения для случаев, когда пустой остается вторая, третья, четвертая и пятая папка соответственно (очевидно, результат будет получаться таким же), получим количество всех благоприятствующих событию А элементарных исходов:

Вычисляем вероятность:

.

Ответ: .

       Задача 5. Органы местного самоуправления в лице 43 депутатов решают вопрос о финансировании строительства автострады и велотрека. Денег в бюджете хватает лишь на один проект. После голосования в урне оказалось 28 бюллетеней за автостраду и 15 – за велотрек. Какова вероятность того, что из вытащенных наугад 5 бюллетеней все будут за автостраду?

    Решение. Определим значение всех переменных из «формулы трех С»: n =43, m =5, m ₁ =5, n ₁ =28, m - m ₁ =0, n - n ₁ =15. Значит, формула имеет вид . , , отсюда P ≈ 0,1.

Если для решения задач требуется вычисление большого количества коэффициентов , можно в программе MicrosoftExcel создать вспомогательный файл по следующему алгоритму:

1) Открываем новую книгу MicrosoftExcelи в столбец A заносим индексы m и n со знаками равенства.

 

 

 

2) В столбец B заносим значения этих индексов, например 5 и 28.

 

 

3) В столбец C вписываем условное название величин, которые потребуются для вычисления сочетаний – фактор(m) и разм(m,n) со знаками равенства. Первая из них равна факториалу числа m, а вторая – числу размещений m по n (поскольку встроенной функции сочетаний m по n в программе Excel нет).

 

 

4) В столбец D необходимо занести формулы для выражений, обозначенных в третьем столбце. Для этого нужно активировать ячейку D 1, написать в ней выражение =фактр(, затем нажать мышью на ячейку B 1, поставить закрывающую круглую скобку и нажать Enter.

 

 

После этого в данной ячейке отобразится значение факториала того числа, которое содержится в ячейке B 1. При изменении этого числа значение в столбце D изменится автоматически.

5) Аналогично, в ячейке D 2 необходимо написать =перест(, нажать на ячейку B 2, поставить; и нажать на ячейку B 1, затем закрыть скобку и нажать Enter.

 

 

6) В ячейке E 1 набрать сочет(m,n)=.

 

 

7) В ячейке F 1 написать =, нажать на ячейку D 2, ввести знак / и нажать на ячейку D 1. Получим значение числа сочетаний m по n. Файл для вычисления  готов. Вводя любые значения m и n в столбец B, в столбце F сразу получаем ответ.