Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний

Колебательный контур – это электрическая цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R. В идеальном колебательном контуре считается, что сопротивление R пренебрежимо мало (R» 0), что позволят в идеальном контуре (рис. 18),состоящем только изкатушки индуктивности и конденсатора, получить незатухающие электромагнитные колебания.

Рис. 18

Для возбуждения в контуре колебаний предварительно заряжают конденсатор, сообщая его обкладкам заряд ± q. Тогда в начальный момент времени t = 0    (рис. 18, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, конденсатор начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. Когда конден­сатор полностью разрядится, энергия электрического поля конденсатора полностью перейдет в энер­гию магнитного поля катушки (рис. 18, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать, и, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, тогда в ней согласно закону Фарадея индуцируется ток, который течет в соответствии с правилом Ленца в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся осла­бить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума   (рис. 18, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 18, г), и система к моменту времени t =Т (Т – период колебаний) придет в первоначальное состояние (рис. 18, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разряд­ки и зарядки конденсатора, то есть  начнутся периодические незатухающие колебания величины  заряда q на обкладках конденсатора, напряжения U_C  на конденсаторе и силы тока I, текущего через катушку индуктивности. Согласно закону Фарадея напряжение U_C на конденсаторе определяется скоростью изменения силы тока в катушке индуктивности идеального контура, то есть:

 .

Исходя из того, что U_C = q / C, а I = dq / dt, получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

       или   .

Решением этого дифференциального уравнения является функция q (t), то есть уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:

 ,

где q (t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

q ₀ – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора;

 – круговая (или циклическая) частота колебаний ();  

=2 / T   (T – период колебаний,   –   формула Томсона);

 – фаза колебаний в момент времени t;

– начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в момент времени t =0.