Примеры отношений эквивалентности

Широкое применение отношений эквивалентности в современной математике связано с тем, что всякое отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы.

П р и м е р 1. Пусть на множестве всех целых неотрицательных чисел 

N ₀ = {0, 1, 2, 3, …} задано отношение Р: «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3». Докажем, что Р – отношение эквивалентности и определим классы эквивалентности, определяемые этим отношением.

В самом деле:

а) отношение Р – рефлексивно, поскольку любое х Î N ₀ имеет при делении на 3 тот же остаток, что х;

б) Р – симметрично, поскольку для любых х, у Î N ₀, если числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3, то числа у и х имеют один и и тот же остаток при делении на 3;

в) Р – транзитивно, поскольку для любых трех чисел x, y, z Î N _0, если х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3, и у и z имеют один и тот же остаток при делении на 3, то числа х и z имеют один и тот же остаток при делении на 3.

Следовательно, отношение Р: «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3» является отношением эквивалентности, и поэтому оно разбивает множество N ₀ на классы. Эти классы называются классами вычетов по модулю 3.

[0] – так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 0,
т.е. [0] = {0, 3, 6, 9, 12 …}, или [0] = {3 k }, где k Î N ₀.

[1] – так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1,
т.е. [1] = {1, 4, 7, 10, 13 …}, или [1] = {3 k + 1};

[2] – так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 2,
т.е. [2] = {2, 5, 8, 11, 14 …}, или [2] = {3 k + 2}.

Итак, отношение Р разбивает множество N ₀ на 3 класса, и вообще, можно доказать, что отношение «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на m» разбивает это множество на m классов.

П р и м е р 2. На множестве N – натуральных чисел задано отношение Р следующим образом: (х ₁, у ₁) Р (х ₂, у ₂) .

Установим, что Р является отношением эквивалентности и определим классы эквивалентности, определяемые этим отношением.

Действительно, это отношение:

а) рефлексивно, поскольку для любых пар (х, у) имеет место ху = ух;

б) симметрично, поскольку для любых двух пар натуральных чисел (х ₁, у ₁) и (х ₂, у ₂), если            х ₁ у ₂ = у ₁ х ₂, то х ₂ у ₁ = у ₂ х ₁;

в) транзитивно, поскольку для любых трех пар (х ₁, у ₁), (х ₂, у ₂), (х ₃, у ₃), если х ₁ у ₂ = у ₁ х ₂ и   х ₂ у ₃ = у ₂ х ₃,
то х ₁ у ₂ х ₂ у ₃ = у ₁ х ₂ у ₂ х ₃, т.е. х ₁ у ₃ = у ₁ х ₃.

Таким образом, отношение Р разбивает множество N на классы эквивалентности. Каждый из этих классов называется рациональным числом.

Например, пары (1, 2), (2, 4), (3, 6) принадлежат одному классу {(1, 2), (2, 4), (3, 6), …}. Можно этот класс определить следующим образом , т.е. как множество пар, эквивалентных паре (1, 2). Обычно эти пары записывают так:  и называют дробями, а эквивалентность пар называют равенством дробей. Для упрощения заменяют класс эквивалентности каким-нибудь его элементом (представителем), чаще всего наиболее простым (несократимой дробью), называя его рациональным числом. Такое упрощение допустимо, так как рациональное число, как класс эквивалентности, однозначно определяется любым элементом этого класса, а операции над рациональными числами, как над классами пар, определяются через операции над представителями этих классов таким образом, что результаты этих операций не зависят от выбора представителей.

Как видно, дробь – форма выражения числа, при этом бесконечное множество дробей, составляющих один класс эквивалентности по отношению P на N, выражает одно число, которое может оказаться целым или дробным положительным числом, т.е. одно рациональное число.