Теперь легко найти все виды издержек.

Решение

а) Подставим значение государственной цены Рg = 500 после­довательно в уравнение спроса и предложения. При Рg = 500; Qd = 8000 - 12 x 500 = 2000, Qs = 4 x 500 - 750 = 1250. Спрос превышает предложение на 750 единиц, что и составляет ве­личину дефицита.

б) Из пункта а) мы выяснили, что при Рg = 500 производители будут поставлять на рынок объем продукции, равный 1250. Подставим данный объем в уравнение спроса: 1250 = 8000 — 12Р. Получаем, что Р = 562,50. Данная цена превышает и госу­дарственную, и равновесную цену и является незаконной, то есть ценой «черного рынка».

2. Функция спроса: Q = —2,5Р + 1000. Для равновесной цены Р* = = 200 найти объем суммарного излишка потребителя.

Решение

Объем суммарного излишка потребителя равен площади треу­гольника, ограниченного линией спроса, осью цен и перпендикуля­ром к оси цен из точки-равновесия (горизонтальная линия Р* = 200). Ось цен пересекается с линией спроса в точке, где Q = 0, т.е. при Р = 400. Для Р* = 200 равновесный объем Q* = -2,5Р +1000 = 500. Следовательно, излишек может быть найден при помощи формулы расчета площади прямоугольного треугольника (при необходимости можно нарисовать график):

S = S (400 -200) x 500 = 50 000.

3. Линия спроса задана формулой: Qd = 3 - 2P, где Р— цена това­ра. При каких Р ценовая эластичность спроса Ed(p) будет равна I?

Решение

По формуле расчета эластичности, Еd(р) = Q’d (p) x P/Qd

Получаем: — 1= —2 х Р/(3 — 2P), из данного уравнения следует, что Р = 0,75.

 

Задачи и упражнения

 

1. Дана функция полезности: U=2x x y, где х,у— объемы благ. Цены благ: Рх = 8, Ру = 5, доход

I = 96. Определите выбор потребителя.

 

Решение

Решение задачи сводится к тому, чтобы найти такие количествен­ные значения х и у, при которых функция полезности U = 2х х у до­стигала бы своего максимума при заданных бюджетных ограниче­ниях. Одним из способов решения оптимизационной задачи являет­ся применение эквимаржинального принципа: MUx / Рx = MUy / Рy.

MUx = pU / py = 2y

МUy = р / рy = 2х

Бюджетная линия определяется уравнением I = Рх x + Рy у.

Таким образом, необходимо решить систему уравнений

2у/8 = 2х/5

8x + 5у = 96 относительно х и у. Получается, что х = 6, у = 9,6. При этом U = 115,2.

2. По данным, приведенным ниже, рассчитайте индексы цен по методам Ласпейреса и Пааше.

 

Продукты питания		Март		Апрель
	цена	потребление	цена	потребление
Мука
Молоко

 

Решение

Индекс Ласпейреса I1 = (30 х 3100 + 12 х 590) / (25 х 3100 + 10 x 590) = 1,2036….

Индекс Пааше Ip = (30 х 3550 + 12 х 600) / (25 х 3550 + 10 х 600) = 1,2253....

Задачи и упражнения

1. Используя данные таблицы, определите значение среднего и предельного продуктов от переменного фактора.

Единицы постоянных ресурсов	Единицы переменных ресурсов	Выпуск за день	Средний продукт(АР)	Предельный продукт (МР)

 

Решение

При решении поставленной задачи необходимо вспомнить, что средний продукт — величина выпуска, приходящаяся на единицу переменного фактора, а предельный продукт — приращение выпус­ка, обусловленное единичным увеличением фактора. Следователь­но, средний продукт от переменного фактора для каждого данного объема выпуска будет определяться путем деления объема выпуска на количество переменного фактора. В отношении определения зна­чений предельного продукта, мы должны вычислить изменения объема выпуска для каждого единичного увеличения переменного фактора. Они определяются как разность между каждым последую­щим и предыдущим объемами выпуска. В итоге получим:

Единицы постоянных ресурсов	Единицы переменных ресурсов	Выпуск за день	Средний продукт	Предельный продукт
			—	—
				-10
				-30

0,5 0,75 2 2

2. Определите эффект масштаба для производственных функций Q = 2К L и Q = аК + bL.

 

Решение α β

Учитывая, что для функции Кобба-Дугласа Q = АК L характер изменения объема выпуска будет зависеть от степенных значений α и β, то увеличение ресурсов, например, в два раза

Α β

Q1 = A(2K) (2L) будет означать Q1 =A(2α)K(2β)L или Q1 = 2αβ(AKL). Следовательно, характер изменения выпуска будет зависеть от величины (αβ). Если (α + β) = 1, то Q1 = 2Q, если (α + β) > 1, то

Q1 > 2Q, если (α + β) < 1, то Q1 < 2Q.

В нашем случае: α = 0,5, a β = 0,75. (α + β) = 0,5 +0,75= 1,25. Следовательно, производственная функция 0,5 0,75

Q = 2К L имеет по­ложительный эффект масштаба.

Задачи и упражнения

1. Пусть производственная функция фирмы выражена зависимо­стью Q = 5KL, где К— затраты капитала, a L — затраты труда. Цена капитала (К) составляет 25 руб./час, а труда (L) — 40 руб./час. Если затраты капитала для краткосрочного периода составляют 2 маши­но-часа, то какую величину составят средние переменные и предель­ные издержки?

Решение

Для решения задачи необходимо прежде всего получить функцию валовых издержек. Для этого необходимо определить, какое количе­ство капитала и груда потребуется для достижения заданного объема производства. Так как в нашем случае имеет место краткосрочный период, в котором затраты капитала фиксированы на уровне 4 ма­шино-часов, то требуемое количество труда можно найти, решая уравнение Q = 5KL — Q = 5(4)L для L = Q/20. Валовые издержки объема выпуска Q в час равны:

TC(Q) = KPk + LPL.

В нашем случае TC(Q) = (25руб./ час.)x(2 машино-часа) + (40 руб./час.)(Q/20 человеко-час.), что даcт TC(Q) = 50+2Q

Теперь легко найти все виды издержек.

Средние переменные из­держки равны AVC(Q) = VC(Q)/Q = TC(Q) - FC(Q).

В нашем случае AVС = 2Q/Q = 2. Для определения предельных издержек MC(Q) = ΔTC(Q)/ΔQ берем первую производную функции валовых издержек, что даст МС = 2 В данном случае производственный процесс характе­ризуется постоянной отдачей от переменного фактора, поэтому зна­чения средних переменных и предельных издержек будут одинаковы.

 

2. Фирма производит продукцию на двух заводах, функции со­вокупных издержек которых представлены как: ТСa = 16 + 4Qa² и ТСa = 24 + Q b ². Как фирме следует распределить производство по за­водам, чтобы обеспечить наиболее дешевый способ выпуска 40 еди­ниц продукции?

Решение

Поскольку суть вопроса состоит в поиске варианта производства, обеспечивающего минимальные издержки, то решение задачи свя­зано с выполнением условия минимизации издержек. Как известно, при использовании факторов в разных процессах условие миними­зации издержек заключается в том, чтобы обеспечить равенство пре­дельных издержек в этих процессах. Для нашей задачи это будет оз­начать МСa = МСb при Qa + Qb = 40.

Первоначально определим функции предельных издержек каждого из процессов, продефференцировав функции совокупных издержек. Получим: МСa = 8Qa и МСb = 2Qb.

Уравнивая предельные издержки 8Оa ⁼ 2Qb и подставляя Qb = 40 — Qa, получаем: 8Qa = 2(40 — Qa) или 8Qa = 80 — 2Qa. Отсюда находим Qa =8, Qb = 32. При таких объемах выпуска предельные издержки производства на обоих заводах будут одинаковыми и составят 64 на единицу продукции. При этом вели­чины средних издержек составят: АТСa = TCa /Qa = 16/Qa + 4Qa²/Qa, что даст АТСa = 34 и АТСb = TCb/Qb = 24/Qb + Qb²/Qb, что даст АТСb= 24. При этом валовые издержки составят ТСa = 16 + 4Qa² = 272 и ТСb = = 24 + Qb² = 1048. Следовательно, достижение минимизации общих издержек не означает равенства валовых издержек в каждом отдель­ном процессе.

Задачи и упражнения

1. Действующая в условиях несовершенной конкуренции, фирма имеет функцию предельной выручки MR = 60 — 2q. При этом зави­симость общих издержек от объема выпуска описывается функцией

ТС = 10q - 5, Какой степенью рыночной власти обладает фирма?

Решение

Показателем рыночной власти фирмы является коэффициент Лернера (L). Значение данного коэффициента определяется по фор­муле L = (Р — МС) /Р. Следовательно, для решения задачи необходи­мо определить значения цены реализации и предельных издержек.

Предельные издержки легко найти, продифференцировав функ­цию общих издержек. В нашем случае их величина будет равна 10. Зная функцию выручки и предельных издержек, мы можем опреде­лить максимизирующий прибыль фирмы выпуск, исходя из прин­ципа MR = МС. При MR = 60 - 2q и МС = 10, q = 25.

Для того чтобы определить рыночную цену, следует вспомнить, что в условиях несовершенной конкуренции, где фирмы обладают рыночной властью, кривая спроса на продукцию фирмы является кривой ее средней выручки. Функция средней выручки может быть найдена из функции общей выручки AR = TR/q. Так как функция предельной выручки является производной от функции общей вы­ручки, то функция общей выручки будет иметь вид TR = 60q — q².

Отсюда функция средней выручки AR = 60 — q. Поскольку для каж­дого данного объема предложения фирмы ее средняя выручка явля­ется ценой реализации, то определив AR, мы найдем и цену.

Поскольку оптимальным, с точки зрения максимизации прибы­ли, для фирмы является предложение равное 25, то при таком предло­жении фирма назначит цену равную 35 (AR = 60 — q = 60 - 25= 35). Теперь можем определить степень рыночной власти фирмы: (Р — МС)/Р, следовательно (35 - 10)/35 = 0,7. Рыночная власть фирмы равна 0,7.

 

 

Задачи и упражнения

1. Спрос на продукцию совершенно конкурентной отрасли пред­ставлен Qd = 55 — Р, а предложение Qs = 2Р - 5. Если у фирмы фун­кция совокупных издержек ТС = 20 - 4q + Sq², то при каких цене и объеме выпуска фирма максимизирует прибыль?

Решение

При решении данной задачи мы должны исходить из двух отправ­ных пунктов.

1) Совершенно конкурентная фирма максимизирует прибыль в случае равенства ее предельных издержек цене продук­ции, то есть при МС = Р.

2) Цена на продукцию совершенно конку­рентной фирмы равна равновесной рыночной цене. Таким образом, для решения задачи нам необходимо определить значение рыноч­ной цены и предельных издержек фирмы.

Прежде всего определим рыночную цену, которая сформируется в точке пересечения кривых рыночного спроса и предложения. Для этого приравняем функции рыночного спроса и рыночного предложе­ния Qd = Qs и решим уравнение относительно Р. Так как Qd = 55 — Р, а Qs = 2Р - 5,

то 55 - Р = 2Р - 5, следовательно, ЗР = 60, а Р = 20.

Поскольку цена на продукцию совершенно конкурентной фирмы не зависит от объема ее выпуска, то фирма будет максимизировать при­быль при цене Р = 20.

Для решения вопроса о максимизирующем прибыль объеме вы­пуска фирмы, в соответствии с принципом максимизации, нам не­обходимо решить уравнение относительно цены и предельных из­держек. Цена нами определена. Функцию предельных издержек можно найти продифференцировав функцию совокупных издержек, данных в условии задачи.

ТС = 20 - 4q + S2q²MC = -4 + (S)2q или МС = -4 + q. Далее решаем уравнение МС = Р относительно q. — 4 + q = 20, следователь­но, q = 24. Таким образом, фирма максимизирует прибыль при объе­ме выпуска 24 единицы. Это легко проверить путем сравнения раз­ницы между выручкой и совокупными издержками, подставив мень­шие или большие значения объема выпуска при данной рыночной цене. Так, при максимизирующем прибыль объеме выпуска q = 24

совокупная выручка (TR = Pq) составит: TR = 24 х 20 = 480,

а сово­купные издержки (ТС = 20 — 4q + S q²): ТС = 20 — 4 х 24 + +Sx (24)² = 212.

Прибыль (П = TR - ТС) составит: Р = 480 — 212 = = 268.

Для выпуска в 23 единицы прибыль составит: Р = 460—192,5= = 267,5 и

для выпуска 25 единиц — П = 500 — 232,5 = 267,5.

 

2. Допустим в совершенно конкурентной отрасли 20 однотипных фирм с постоянными в долгосрочном периоде издержками. Предель­ные издержки для краткосрочного и долгосрочного периодов оди­наковы у всех фирм и задаются уравнением: МС = q² — 12q + 36, где q — выпуск фирмы. Если рыночный спрос для обоих периодов задан уравнением Р = 189 — Q, а средние издержки производства фирм минимизируются в краткосрочном периоде — при выпуске q = 8 еди­ниц и долгосрочном — при выпуске q = 9 единиц.

Находится ли данная отрасль в состоянии долгосрочного равно­весия?

К каким результатам приведет проникновение на рынок фирм, которые предложат продукцию по 5 руб. за единицу?

Решение

Достижение долгосрочного равновесия в совершенно конкурен­тной отрасли означает, что: