Задача 1. Определение критериев подобия с использованием теории размерностей.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра энергомеханических систем

 

 

РЕФЕРАТ

по дисциплине «Теория инженерного эксперимента»

на тему: «Расчёт статических показателей экспериментальных данных».

Вариант 2

Выполнил:

аспирант второго года обучения кафедры

«Механическое оборудование заводов

(полное название кафедры)

черной металлургии»

Стародубцев Б. И.

(фамилия, инициалы)

 

Проверил:

канд. техн. наук, доц., доц.

(научная степень, ученое звание, должность

Геммерлинг О.А.

на кафедре энергомеханических систем, фамилия и инициалы

 

д-р. техн. наук, проф., зав. каф., проф.

(научная степень, ученое звание, должность

Кононенко А.П.

на кафедре энергомеханических систем, фамилия и инициалы

 

 

Донецк - 2017 г.

 

ПЛАН РЕФЕРАТА

ВВЕДЕНИЕ

1. Функция распределения

2. Решение задач

2.1 Задача 1. Определение критериев подобия с использованием

теории размерностей

2.2 Задача 2. Статическая обработка экспериментальных данных

2.3 Задача 3. Сравнение выборочных данных. Дисперсионный анализ

2.4 Задача 4. Проверка соответствия установленной зависимости экспериментальному материалу

ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Поскольку в подавляющем большинстве случаев при проведении экспериментальных исследований не удается избежать воздействия возмущающих факторов, параметры объекта исследования (ОИ) следует рассматривать как случайные величины, а значения этих параметров, измеренные в конкретных опытах – как реализации случайных величин. Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина принимает определенное значение или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.

Исследователь при постановке опытов делает конечное, обычно небольшое, количество измерений. Их можно рассматривать как случайную выборку из гипотетической генеральной совокупности. Задача обработки сводится к определению по данным выборки показателей, оценивающих параметры генеральной совокупности. Для правильного решения этой задачи необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины. Таким образом, повседневное обращение исследователей, использующих эмпирические методы в своей практике, к мат. аппарату статистической обработки результатов экспериментов в виде случайных величин предопределяет актуальность и научно-практический интерес рассматриваемой темы настоящей работы..

Целью настоящей работы является рассмотрение понятия случайной величины и ее законов распределения, понятий ряда, многоугольника и функции распределения, как основных ее характеристик. Для достижения поставленной цели были решены задачи теоретического рассмотрения вышеупомянутых вопросов и овладения практическими навыками решения задач.

 

1. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Ряд распределения, как исчерпывающая характеристика (закон распределения) прерывной случайной величины, не является универсальным. Эта характеристика существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «несчетное множество»). Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величины, невозможно. Каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события X = х, а вероятностью события X < х, где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х, есть некоторая функция от х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается Р (х):

F (х) = Р (X < х).

Функцию распределения Р (х) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т. е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения Р (х) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х ₂ > х ₁ F (х ₂) ≥ F (х ₁).

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:

F (-∞) = 0.

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

F (+∞) = 1.

Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину X как случайную точку X на оси Ох (рис. 2.1), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения F (х) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадет левее точки х.

 

Рисунок 1.1

 

Будем увеличивать х, т. е. перемещать точку х вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка X попадет левее х, не может уменьшиться; следовательно функция распределения F (х) с возрастанием х убывать не может.

Чтобы убедиться в том, что F (-∞) = 0, будем неограниченно перемещать точку х влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки X левее х в пределе становится невозможным событием; естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю, т. е. F (-∞) = 0.

Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку х вправо, убеждаемся, что F (+∞) = 1, так как событие X < х становится в пределе достоверным.

График функции распределения F (х) в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 2.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

 

Рисунок 1.2

 

Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,

где неравенство х _i < x под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения х _i, которые меньше х.

Когда текущая переменная х проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины X, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Вероятность события А равна 0,3. Случайная величина X – число появлений события А в опыте (характеристическая случайная величина события А). Построить ее функцию распределения.

Решение. Ряд распределения величины Х имеет вид:

 

хi
pi	0,7	0,3

 

 

Построим функцию распределения величины X:

1) при х ≤ 0

2) при 0 < х ≤ 1

3) при х > 1

График функции распределения представлен на рис. 2.3. В точках разрыва функция F (х) принимает значения, отмеченные на чертеже точками (функция непрерывна слева).

 

Рисунок 1.3

 

Пример 2. В условиях предыдущего примера производится 4 независимых опыта. Построить функцию распределения числа появлений события А.

Решение. Обозначим X – число появлений события А в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения

 

хi
pi	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

 

Построим функцию распределения случайной величины X:

1) при х ≤ 0 F (х) = 0;

2) при 0 < х ≤ 1 F (х) = 0,2401;

3) при 1 < х ≤ 2 F (х) = 0,6517;

4) при 2 < х ≤ 3 F (х) = 0,9163;

5) при 3 < х ≤ 4 F (х) = 0,9919;

6) при х > 4 F (х) = 1.

График функции распределения представлен на рис. 2.4.

 

Рисунок 1.4

 

Функция распределения любой прерывной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функций F (х) равна единице.

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становится более плавной (рис. 2.5); случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения – к непрерывной функции (рис. 2.6).

На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках, как это показано на рис. 2.6. Однако можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрывы (рис. 2.7). Такие случайные величины называются смешанными. В качестве примера смешанной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис. 2.8). Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток от 0 до πR ², но при этом крайние значения промежутка 0 и πR ², осуществляющиеся при положениях бомбы типа I и II, обладают определенной конечной вероятностью, и этим значениям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных значениях (положение типа III) функция распределение непрерывна. Другой пример смешанной случайной величины – время Т безотказной

 

Рисунок 1.5 Рисунок 1.6

 

Рисунок 1.7 Рисунок 1.8

 

работы прибора, испытываемого в течение времени t. Функция распределения этой случайной величины непрерывна всюду, кроме точки t.

Таким образом, при соблюдении известных условий функция распределения, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора, полностью определяет случайную величину.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 1. Определение критериев подобия с использованием теории размерностей.

Потери давления р при движении жидкости по трубопроводу круглого сечения являются функцией плотности жидкости , длины l и диаметра d трубопровода, средней скорости жидкости U; р = f(,l,d,U). Найти безразмерные комбинации, описывающие про­цесс, если размерности фундаментальных физических переменных имеют вид: [p] = МL^-1T^-2; [ ] = МL^-3; [l] = L; [d] = L; [U] = LT^-1.

В рассматриваемом случае фундаментальных переменных т = 5: параметр p и факторы U, l, ρ, d; и k = 3 размерности фундаментальных физических переменных, описывающих процесс: М, L, T. Таким образом, количество безразмерных комбинаций, описывающих процесс: т - k = 5-3 = 2.

Представим искомую зависимость в виде:

p^a ∙ ρ^b ∙ l^c ∙ d^f ∙ U^x = 1 = π ₁ ∙ π ₂,

где a, b, c, f, x – неизвестные показатели степени.

Подставим размерности фундаментальных физических переменных в искомую зависимость:

Выпишем неизвестные показатели степеней, группируя их по размерностям фундаментальных физических переменных с учетом показателей степеней последних:

для М: a + b = 0;

для L: - a - 3 b + c + f + x = 0;

для T: -2 a - x = 0.

Из каждого уравнения системы исключаем один показатель степени, а в остальных уравнениях выражаем его через оставшиеся показатели. При этом следуем рекомендациям – неизвестный показатель степени a при параметре оставляем.

Исключаем переменные x (из третьего уравнения системы), c (из второго уравнения системы), b (из первого уравнения системы) и подставляем в искомую зависимость:

Объединим члены, имеющие одинаковые показатели степеней:

Выполним проверку, подставив размерности фундаментальных физических переменных, описывающие процесс, в последнее уравнение:

Ответ. В качестве критериев подобия силы сопротивления R при движении вязкой жидкости могут быть приняты следующие безразмерные комплексы: