Производная по направлению. Градиент.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

ПЛАН

 

1. Полный дифференциал функции двух переменных.

2. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции двух переменных.

3. Производная по направлению Градиент.

4. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

 

1. Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой окрестности точки М (х, у). Составим полное приращение функции в точке М:

∆ z = f(x + ∆x, y + ∆у) – f(х, у).

Определение. Функция z = f(х, у) называется дифференцируемой (т.е.

имеет полный дифференциал) в точке М(х, у), если её

полное приращение можно представить в виде:

∆z = A · ∆x + B · ∆y + α · ∆x + β · ∆y, (1)

где α = α(∆х, ∆у) → 0 и β = β(∆х, ∆у) → 0 при ∆х → 0, ∆у → 0.

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) есть выражение, линейное относительно ∆х и ∆у и представляет собой главную часть приращения функции. Сумма двух последних слагаемых правой части равенства (1) является бесконечно малой высшего порядка относительно , т.е. или .

Определение. Главная часть полного приращения функции z = f(х, у),

линейная относительно ∆х и ∆у, называется полным

дифференциалом этой функции и обозначается симво-

лом dz:

dz = А · ∆х + В · ∆у. (2)

Выражения А · ∆х и В · ∆у называют частными дифференциалами.

Для независимых переменных ∆х = dх и ∆у = dу.

Поэтому равенство (2) можно записать в виде:

 

dz = А · dх + В · dу. (3)

 

Необходимое и достаточное условия дифференцируемости

Функции двух переменных.

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции).

Если функция z = f(х, у ) имеет в точке М(х, у) полный дифферен-

циал, то она имеет в этой точке частные производные и при этом

.

Формула (3) принимает вид:

. (4)

 

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции).

Если функция z = f(х, у) имеет в точке непрерывные частные произ-

водные и , то она дифференцируема в этой точке и её пол-

ный дифференциал выражается формулой (4).

 

Правила и формулы вычисления дифференциалов функции одной переменной справедливы и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

 

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция , где точка М=(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по двум переменным. Пусть задан вектор (определено направление ). Рассмотрим точку , лежащую на , и точку также расположенную на . Функция при перемещении М в положение получит приращение

 

.

Обозначим через .

Предел

называют производной функции по направлению и обозначают .

ТЕОРЕМА (о вычислении производной функции по заданному направлению)

Если и функция непрерывна вместе со своими частными производными, тогда справедливо равенство:

. (5)

 

Заметим, что частные производные являются частным случаем производной по направлению.

Производная характеризует скорость изменения функции по направлению вектора .

Определение. Пусть задана функция в области . Вектор

называют градиентом функции .

 

ТЕОРЕМА (о связи градиента с производной по направлению).

Пусть задана функция . Производная по направлению некоторого вектора равна проекции вектора на вектор , то есть можно вычислить по формуле

= . (6)

В правой части формулы (6) стоит скалярное произведение двух векторов: вектора и единичного вектора заданного направления .

Как известно из курса аналитической геометрии, единичный вектор вектора можно найти по формуле

. (7)

Координатами единичного вектора являются направляющие косинусы заданного направления , т.е. .