Моделирование эволюции социума последовательностью вложенных подгрупп

Над множеством наших перестановок мы можем ввести операцию умно­жения, которая будет обладать свойством ассоциативности, но не обладать свойством коммутативности, т.е. эта группа не является абелевой.

Определение: Пусть перестановка переводит некоторый индекс в индекс , а перестановка переводит индекс в индекс , тогда будем говорить, что перестановка является произведением перестановок и , если указанный индекс перестановка будет переводить в . Далее будем обозначать указанное произведение так: .

Отметим теперь существование единичного, относительно введенной операции, элемента в множестве , таким элементом будет являться тождественная перестановка, которая отражает в себе граф ВЦ с четырьмя петлями.

Для будет выполняться следующее:

1. , где - тождественная перестановка;

2. , где ;

3. Операция , как отмечалось уже выше, ассоциативная и некоммутативная.

Отсюда следует, что является некоммутативной группой. Более того, из можно выделить цепочки вложенных подгрупп или построить решетку группы . Каждая из таких подгрупп выражает спектр ВЦ жизнедеятельности, в котором будет циклировать система ЯВ до тех пор, пока она не перейдет на новый уровень развития. Такой переход возможен за счет открытий, изобретений, инноваций или просто нововведений, которые меняют структуру СОВ: добавляют или убирают связи в графе. Также в графе могут возникать и новые вершины, соответствующие новым ЯВ. Так нам представляется логичным переход от описанной СОВ, отражаемой графом с 4-мя вершинами, к СОВ с новым типом ЯВ, которая отображается на графе с числом вершин, большим, чем 4. Такой тип отношений воплощают вожди или старейшины как распределители запаса. Добавив к графу G₄ еще две вершины, т.е. каждой общине по старейшине, получим шести вершинный граф. На полном шести вершинном графе можно записать 720 различных перестановок, которые будут образовывать группу , изоморфную группе симметрий октаэдра. Группа будет подгруппой . Решетка группы будет подрешеткой группы .

Пока мы говорили только о полных графах. Однако, образ жизни, т.е. структура СОВ, вообще говоря, не всегда отражается полным графом. Чаще тут могут быть именно неполные графы, т.е. графы, где не все вершины попарно соединены ребрами. Если рассматривать пример с нашим четырех вершинным графом, то можно рассмотреть ситуацию, где отсутствует интеграция сельского хозяйства, а также обмен излишками результатов труда (так называемая североамериканская модель). Граф соответствующей СОВ изображен на приведенном рисунке. Основным отличием данной ситуации будет являться то, что множество всех перестановок на данном графе уже будет значительно «беднее», нежели на полном. Однако в этом множестве также существуют цепочки вложенных подгрупп.

Чуть выше мы уже говорили об образах жизни, которые отображаются группами перестановок, остановимся на этом чуть подробнее. Переходы от одной подгруппы к другой, есть ничто иное, как смена образов жизни сообщества, его выход на новый уровень развития. Сам уровень развития характеризуется структурой неориентированного графа, который соответствует определенной СОВ. С социально-экономической точки зрения, изменение образа жизни общества может быть связано с некоторыми инновациями, новшествами. В контексте рассмотренной нами североамериканской модели, такой инновацией может быть открытие возможности обмена излишками продуктов труда с соседней общиной. В математической же модели изменение образа жизни общества отразиться появлением новых вершин или новых ребер на графе. Таким образом, с появлением новых структурных единиц появляются новые ВЦ, а, следовательно, возможность наращивать уже существующие группы, которые отражают текущий образ жизни, до новых групп в рамках уже нового графа. Так строятся эволюционные цепочки групп.

В итоге эволюция СОВ представляется по­следовательностью вложен­ных подгрупп с неограниченно растущим порядком

… Ì H_n Ì H_m Ì H_p Ì…,

n < m < p

Первые члены этой последовательности гаран­тируются подбором подгрупп с соответствующими делителями для группы всех симметрий тетраэдра - S₄. Следующими членами этой последо­вательности уже являются подгруппы группы симметрий октаэдра – S₆, подгруппой которого является группа симметрий тетраэдра.

И прежде, чем перейти к характеристики разных эволюционных моделей, возникающих лоне группового подхода, не следует забывать и о других возможностях отображать эволюцию. Например, о последовательном росте на стреле времени "правил запрета", сужающим общее поле преобразований симметрии вплоть до утраты свойств группы. Так запрет на кровосмешение и на людоедство - по существу это отмена "петель" в вершинах как S₄, так и S₆ и т.д., а значит и отмена существования у группоида единичной перестановки, а т.е. перехода из группы в полугруппу. А ведь еще впереди, в исторической перспективе новозаветные "правила запрета": "не убий", "не укради" и т.д.

В ниже представленных моделях путей эволюции внимание фокусируется не на петлях, а на ребрах графов