Положение и скорость КА в АГЭСК

 

Абсолютная геоцентрическая экваториальная система координат – неподвижная система, используемая для фиксации координат КА в инерциальном пространстве.

Координаты КА в АГЭСК (вектор X) вычисляют по формулам:

 

где u – аргумент широты,

W – долгота восходящего узла орбиты,

i – наклонение плоскости орбиты к земному экватору,

r – радиус-вектор КА (расстояние от центра Земли до КА)

 

Вектор скорости КА в этой системе координат вычисляют по формулам

где

–скорость КА вдоль радиуса орбиты

– угловая скорость радиус-вектора.

J – истинная аномалия;

е – эксцентриситет орбиты.

 

Расчет параметров орбиты по координатам в АГЭСК

Сначала вычисляют компоненты вектора площадей и вектора Лапласа :

 

,

,

,

,

,

,

Затем вычисляем:

– фокальный параметр

 

– эксцентриситет орбиты

– радиус перицентра ,

– наклонение плоскости орбиты к экватору ,

Для вычисления углов W, w и i необходимо нормировать векторы С и F:

Аргумент широты, долготу восходящего узла и аргумент перицентра находят из связей углов Эйлера W, w и i с первыми интегралами невозмущенного движения – векторным интегралом площадей и вектором Лапласа, которые имеют вид:

,

,

,

,

,

,

При нулевом эксцентриситете аргумент перигея не определен так как . Аргумент широты и долгота восходящего узла теряют смысл при нулевом наклонении. Это, так называемые, вырожденные случаи, для которых используется следующая логика.

Сначала анализируем значение наклонения. Если i¹0, то находим долготу восходящего узла и аргумент широты.

где

Аргумент широты — это угол между радиус-вектором КА и единичным вектором направления на восходящий узел орбиты:

где

Если наклонение равно нулю, то аргумент широты определяем как угол между ортом оси OX абсолютной системы координат и радиусом-вектором КА:

где .

и принимаем W = u.

Для вычисления аргумента перицентра эллиптической орбиты (при 0<e<1) используем соотношения между углами Эйлера и первыми интегралами невозмущенного движения, из которых можно найти синус и косинус аргумента перицентра. В случае полярной орбиты (cos i=0) имеем

При cos i¹0 находим

Зная синус и косинус аргумента перицентра, находим результат на интервале
[0, 2p]:

Если эксцентриситет орбиты равен нулю, то аргументу перицентра присваиваем значение аргумента широты.

Приведенные соотношения и логика обработки особых ситуаций гарантируют вычисление элементов орбиты КА по декартовым координатам в АГЭСК по исходным данным, удовлетворяющим условию эллиптического движения (0 ≤ е <1).

 

Звездное время

 

Среднее звездное время это часовой угол между направлением на точку весеннего равноденствия и гринвичским меридианом на эпоху t. Его рассчитывают от опорной даты (эпохи) по следующей формуле

 

S = 1,7533685592 + 0,0172027918051 ⋅ d + 6,2831853072 · M + 6,7707139 ⋅ 10-6 ⋅ τ2 - 4,50876 · 10-10 ⋅ τ3

где

d - интервал времени от эпохи T ₀ до эпохи t в средних солнечных сутках, вычисляемый по формуле d = JD (t) - 2451545,0;

JD(t) – юлианская дата эпохи t.

М - всемирное время UT1 рассматриваемой даты, выраженное в долях суток;

τ - интервал времени от эпохи Т ₀ до эпохи t в юлианских столетиях по 36525 средних солнечных суток, вычисляемый по формуле

для вычисления юлианской даты эпохи t используйте функцию

function DateTimeToJulianDate(Value: TDateTime): double из модуля DateUtils.

 

 

Положение КА в ГСК

 

Гринвичская система координат вращается вместе с Землей, т.е. является подвижной. Ее используют для фиксации координат КА относительно вращающейся Земли.

Вектор состояния КА в ГСК определим с компонентами {X_g, Y_g, Z_g, R, l, j }, где X_g, Y_g, Z_g – декартовы координаты, R, l, j – сферические.

Для вычисления декартовых координат используем преобразование

 

где S – звездное время, т.е. угол, характеризующий положение ГСК относительно АГЭСК в заданный момент времени.

Сферические координаты вычисляют по формулам

,

(широта)

где , причем правильную четверть долготы надо определить по ее синусу

В случае полярной орбиты (когда =0) долгота принимается равной звездному времени S.

 

9. Возмущенное движение КА порядка J₂₀

 

Основными факторами, возмущающими движение КА на низких орбитах, являются нецентральность поля тяготения Земли и аэродинамическое торможение.

Наибольшее влияние на движение КА оказывает полярное сжатие Земли, которое учитывается коэффициентом J₂₀ – второй зональной гармоникой разложения геопотенциала по сферическим функциям. Она вызывает вековые изменения параметров M, W, w и периодические изменения всех параметров на одном витке.

Модель вековых изменений элементов орбиты в функции интервала времени (t-t₀) без учета торможения в атмосфере имеет вид

 

 

где

 

Трасса КА

 

Географические координаты точек пересечения радиуса-вектора космического аппарата (КА) с поверхностью вращающейся Земли, вычисляемые в последовательные моменты времени, образуют на поверхности земли воображаемый след – трассу КА.

Долготу и широту точки трассы вычисляют по формулам

 

широта:

долгота ,

где t – время, отсчитываемое от 0 часов даты расчета,

– долгота пересечения плоскости экватора Земли,

– угловая скорость вращения Земли,

– наклонение плоскости орбиты КА к плоскости экватора Земли

u – аргумент широты КА.

 

Долгота пересечения экватора определяется по формуле

 

Где – среднее звездное время на 0 часов даты расчета,

W – долгота восходящего узла орбиты,