Матричные методы при решении экономических задач

Паспорт проекта

Цель: Провести анализ использования матриц при решении экономических задач

Задачи:

1. Выявить матричные методы при решении экономических задач

2. Узнать о методе Гаусса

3. Изучить что такое матрица, и всё что связано с матрицей в экономике

4. Решить задачу по экономике

Дисциплина: Математика: Алгебра, начала математического анализа, Геометрия.

Тип проекта: исследовательская работа

Сроки реализации: 16.01.17-13.03.17

Продукт проектной деятельности: реферат.

Актуальность исследования: анализ материала, посвященного использованию матриц при решении экономических задач в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» разных авторов, учет целей изучения использования матриц при решении экономических задач, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………….3

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ……………..………………………

ГЛАВА 2. МЕТОД ГАУССА………………………………………....…..

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ..………………………………………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………..........

ЛИТЕРАТУРА…………………………………..

 

Введение

Одним из основных методов решения экономических задач является матричный метод. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме.

Впервые матрица появилась в Древнем Китае и носила название «волшебный квадрат». Чуть позже она стала известна и арабским математикам. В конце XVII века швейцарский ученый Габриэль Крамер разработал свою теорию, а в 1751 году опубликовал один из методов решения систем линейных уравнений «правило Крамера». Также в этот период был создан «метод Гаусса». Огромный вклад в развитие теории матриц в середине XIX внесли такие известные ученые как Уильям Гамильтон и Артур Кэли. Наряду с ними развивали данную теорию немецкие математики Карл Вейерштрасс и Фердинанд Георг Фробениус, а также, французский математик Мари Энмон Камиль Жордан. В 1850 году Джеймс Сильвестр ввел современное понятие матрицы. Существует целая наука, которая называется "История экономики". Она изучает, как со временем менялись хозяйственные отношения между людьми и как эта наука стала такой, какой мы видим её сейчас. Если задуматься, то становится очевидным, что экономическая наука издревле окружает нас. Например, даже в первобытном обществе существовал так называемый "натуральный обмен" - то есть люди меняли свои вещи на другие без использования денег. Постепенно появляется денежный эквивалент, роль которого исполняет золото. До сих пор запасы многих стран оцениваются в золотом эквиваленте. Сначала золоту и другим драгоценным металлам придавали форму слитков, но затем в Древней Греции и Древнем Риме начали чеканиться монеты. Монеты долгое время подразделялись на золотые, серебряные и бронзовые. В конце концов мы пришли к той валюте, что видим сейчас.

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Матричные методы при решении экономических задач

 

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

На сегодняшний день известно большое количество разных мнений на процессы, которые происходят в обществе. И не важно, как разные политические силы смогут воспринять такие процессы, однако, ни одна из этих сил не сможет отрицать того, что современные экономические условия в нашей жизни стали намного сложнее. Принимать важные стратегические решения для общества и частных лиц стало труднее. Именно в моменты преодоления всех этих препятствий, появляется большой интерес к математическим методам, которые можно было бы применять в экономике, то есть к таким математическим методам, которые смогли бы выработать лучшую стратегию на решение действующих проблем и на долгосрочные проекты. Таким видом выхода из сложившейся ситуации стало решение задач в экономике при помощи матричных методов. На внедрение и развитие математических методов в решении экономических задач, большое влияние оказало создание и развитие современной вычислительной техники. Вычислительная техника нового поколения позволила применять на практике множество новых методов, которые были описаны ранее только в теории или объяснялись на простых примерах. Но никакая вычислительная техника не способна заменить человека и поэтому, люди должны уметь эффективно использовать теоретические знания в области математики в экономики. В нашем же случае, уметь правильно решать экономические задачи при помощи матричных методов.

Матрица представляет

собой математический объект, который записывается в формате прямоугольной таблицы с элементами внутри. Над матрицами можно осуществлять следующие операции:

1. равенство матриц;

2. транспонирование;

3. сложение;

4. умножение матриц на число;

5. умножение одной матрицы на другую матрицу.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричнаяалгебра - имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме.

Из уроков математики мне известны основные операции над матрицами: равенство матриц; транспонирование; сложение и вычитание; умножение матрицы на число; умножение матрицы на матрицу.

Вообще, можно сказать, что матрица – это математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля. Рассмотрим пример:

 

 

Матричные методы находят широкое применение в экономической практике: сокращение документооборота, статистические расчёты, организация внутрипроизводственного хозрасчёта и для экономического анализа. Им пользуются при сравнении, при оценке структурных подразделений и работы самой организации в целом. Решая экономические задачи при помощи матричных методов, люди смогли решать основные задачи экономического типа на всех предприятиях и организациях.

Чтобы доказать это рассмотрим пример одной из экономических задач с помощью матриц:

Пусть фирма (Х) выпускает товары 3 видов (, , ) и использует сыр 2-х видов (, ), нормальный расход будет равен:

A =

С = (6070170). Стоимость единицы каждого вида сырья (денежных единиц) представлена матрицей: В =

Решая данную задачу аналитическим способом мы получаем, что затраты первого сырья будут равны: = 8*60 + 5*70+9*170 = 2360 единиц;

Затраты второго сырья будут равны: = 6*60 + 8*70+4*170 = 1600 (единиц);

Следовательно, матрица затрат сырья S может быть записана следующим способом:

 

S = С*А,

 

где S – это затраты на сырье; С – это заказ; A – это матрица производства.

Тогда: S = * (60 70170) = (2360 1600).

Общая стоимость сырья будет равна: Q= 2360*75+1600* 35= 233000.

Денежная единица может быть также записана и в матричном виде:

 

Q= S*B = (CA)B=(233000),

 

где Q – общая стоимость; B – стоимостью единицы сырья; а S – затраты на сырье.

Использование матриц в экономике не может происходить без матриц Абеля. Именно они позволяют рассмотреть нужную отрасль компании и привести ее к критериям выбора правильной конкурентоспособности.

Матричные методы можно также использовать для моделирования экономики отраслей народного хозяйства, экономики республик, народного хозяйства страны. Матрицы данного типа носят название межотраслевого баланса и находят широкое применение в планировании и статистике.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что в экономической деятельности, в большей степени, используется метод анализа. Такой метод применяется для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений. Следовательно, матричный метод в экономике – это метод научного исследования свойств объектов на основе использования правил теории матриц, по которым определяется значение элементов модели, отражающих взаимосвязи экономических объектов. Используется в тех случаях, когда главным объектом исследования являются балансовые соотношения затрат и результатов производственно-хозяйственной деятельности и нормативы затрат и выпусков. Рассмотрим на примере самое простое применение матрицы в отраслях экономики.

 

Ресурсы	Угольная промышленность	Здравоохранение
Электроэнергия	10,2	6,1
Трудовые ресурсы	7,8	3,5
Водные ресурсы		1,2

 

Упрощённая запись предложенных аналитических данных выглядит следующим образом:

Решение экономических задач, осуществляемое матричным методом, позволило решать основные задачи экономического профиля на любом из предприятий.

Пусть предприятие выпускает продукцию трёх видов (, , ), использует сырьё двух типов (, ), а нормы расхода.

Стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) представлена матрицей-столбцом:

Эта задача решается аналитическим путем.

Поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение, где S – затраты сырья; С – заказ; A – матрица производства.

Где общая стоимость сырья может быть записана в матричном виде, где Q – общая стоимость; B – стоимость единицы сырья; S – затраты сырья.

Применение матриц в экономике не может обойтись и без матрицы Абеля, т.к. она позволяет рассматриваемую отрасль какой-либо деятельности компании, привести к критериям выбора конкурентоспособности в технологиях синергетического эффекта и маркетинга.

ГЛАВА 2. МЕТОД ГАУССА.

прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

· во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

· во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

· в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Краткий обзор статьи.

Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.

Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров.

В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.