Интегрирование рациональных дробей

Рассмотрим более подробно методы для интегралов типа , где - два многочлена каких-либо степеней.

Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь неправильная. Можно свести неправильную дробь к правильной, поделив на с остатком. В результате, появятся некоторые степенные слагаемые вне этой дроби, найти первообразные от них не проблема. Таким образом, мы должны научиться интегрировать именно правильные дроби.

Есть некоторые виды дробей, действия с которыми сводятся к тем методам, которые мы уже изучали, это так называемые «простейшие дроби» (у них знаменатель дальше нельзя разложить на множители).

=

заменой сводится к , а далее как для степенной.

= .

(обозначим этот интеграл ) решается интегрированием по частям, если обозначить всю функцию u а второй множитель 1. Получится «рекурсивная» формула, выражающая к , значит, все они сводятся к .

решается так: выделить полный квадрат, и тогда всё сведётся к виду .

выделить полный квадрат в знаменателе, и получится выражение вида .

Рассмотрим общий случай, когда степень знаменателя произвольна. Дробь при этом уже правильная, если не так, то мы отделили целую часть и проинтегрировали её отдельно.

Найдём корни знаменателя и разложим его на множители. При этом неразложимые множители могут остаться либо 1 либо 2 степени. Для любого многочлена 3 степени, уже есть хотя бы один действительный корень. Итак, в знаменателе могут быть только или .

Далее, можно разбить на сумму простейших дробей, где знаменатель каждой дроби - это один из множителей, на которые был разложен знаменатель . Например, если все корни различны, то

Называется метод неопределённых коэффициентов.

Если сумму простейших привести к общему знаменателю, то останется приравнять числители, и найти неопределённые коэффициенты.

Ситуация 1) Если все корни и различны.

Пример. .

Решение. = .

Приведём к общему знаменателю = .

Теперь приравняем числители в и .

 

, т.е.

, получается система уравнений:

решая её, находим .

Получается, что = =

= .

 

Ситуация 2. Если все корни , но среди них есть кратные.

Например, если два из 3 корней совпадают, дробь имеет такой вид: . Здесь нельзя записать и представить в виде , потому что, приводя к общему знаменателю такую сумму, мы получим в знаменателе только , а вовсе не . Таким образом, тот вариант метода разложения на простейшие, который был для различных корней, здесь приведёт к противоречию.

Разложение необходимо искать в таком виде:

Если корень кратности , то соответственно, надо включить в общую сумму таких слагаемых, где есть все степени от 1 до .

 

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Наличие множителя означает, что корень 0 кратности 2. Фактически даже можем рассматривать в таком виде: .

Сначала извлечём дробь из интеграла, и ищем разложение в виде:

=

Приводим к общему знаменателю.

=

Так как знаменатели равны, то осталось приравнять числители.

= ,

=

=

Тогда надо приравнять коэффициенты при каждой степени, получится , , .

То есть система уравнений на поиск трёх неопределённых коэффициентов:

решая эту систему, находим .

Тогда исходный интеграл распадается на сумму:

= =

= .

 

ЛЕКЦИЯ № 2. 21. 02. 2017

...

Приложение 1.

Вопросы по теории в билеты на экзамен.

Лекц. № 1

1. Докажите формулу интегрирования по частям.

Приложение 2.

Мелкие и устные вопросы на знание теории (для коллоквиумов).

Лекц. № 1

1. Что такое первообразная и неопределённый интеграл, чем они отличаются?

2. Объяснить, почему тоже является первообразной.

3. Напишите формулу интегрирования по частям.

4. Какая замена требуется в интеграле вида и каким образом она устраняет корни?

5. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни различны и действительны.

6. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни действительны, и есть один кратный корень кратности k.