Исследование устойчивости системы

Система автоматического управления считается устойчивой, если она, будучи выведена из состояния установившегося движения некоторым воздействием, возвращается в исходное состояние после прекращения этого воздействия.

Найдем передаточные функции всех звеньев

сократим числитель и знаменатель на 1000 и округлив, получим передаточную функцию разомкнутой системы.

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА.

По Гурвицу система является устойчивой, так как выполняется следующие условие:

необходимое условие устойчивости по Гурвицу- все коэффициенты уравнения ai>0.

Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были положительны

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП.ЭС.02.12.00.ПЗ.

Для определения устойчивости системы по Гурвицу берется характеристическое уравнение замкнутой системы.

Данное уравнение четвертого порядка, поэтому для определения

устойчивости по Гурвицу определяется по следующей формуле

a0=75p^4 a1=17.5p^3 a2=4.2p^2 a3=3p a4=0.05

17.5*(3*4.2-0.05*75)-3^2*75>0

155+675>0

830>0

Вывод: система устойчива по Гурвицу

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА.

Система устойчива т.к. начинается с положительной полуоси и идет против часовой стрелки и проходит столько квадрантов каков показатель характеристического уравнения замкнутой системы.

w	Re	Ym
	0.05
0.2	-0.09	0.46
0.5	3.2	10.8
∞	+∞	-∞

заменяем P на

75j⁴w⁴+17.5j³w³+4.2j²w²+3jw=0

75w⁴-17.5jw³-4.2w²+3jw=0

Re=75w⁴-4.2w²+0.05

Ym=3jw-17.5jw³ график смотреть схема 1а

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП.ЭС.02.12.00.ПЗ.

Вывод: система устойчива по Михайлову

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА.

Система устойчива т.к. годограф Найквиста не охватывает точку (-1;0) и есть запас устойчивости системы.

Заменяем p на jw

3.7j²w²+3jw+0.05/75j⁴w⁴+17.5j³w³+0.5j²w²

-3.7w²+3jw+0.05/75w⁴-17.5jw³-0.5w²

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП.ЭС.02.12.00.ПЗ.

[-3.7w²+3jw+0.05]*(75w⁴-0.5w²)+j*(17.5w³)/(75w⁴-0.5w²)-j*(17.5w³)*(75w⁴-0.5w²)+j*(17.5w³)=

=(-277.5w⁶-46.9w⁴-0.025w²)+(160.3jw⁵-0.6jw³)/(75w⁴-0.5w²)²+(17.5w³)²

Re=-277.5w⁶-46.9w⁴-0.025w²/(75w⁴-0.5w²)²+(17.5w³)²

Ym=(160.3jw⁵-0.6jw³)/(75w⁴-0.5w²)²+(17.5w³)²

W	Re	Ym
0.1	-16.7	3.2
	-0.06	0.03
-1	-0.06	-0.03
∞

 

смотреть график схема 1б

Вывод: система устойчива по Найквисту.

11 .Построение переходной характеристики процесса регулирования

Заменяем p на jw

3.7j²w²+3jw+0.05/75j⁴w⁴+j³w³+4.2j²w²+3jw+0.05

-3.7w²-17.5jw³-4.2w²+3jw+0.05/75w⁴-17.5jw³-4.2w²+3jw+0.05

-3.7w²+3jw+0.05*(0.05+75w⁴-4.2w²)+17.5jw³-3jw/[(0.05+75w⁴-4.2w²)-17.5jw³+3jw]*(0.05+75w⁴-4.2w²)+j(17.5w³-3w)

Re=-227.5w⁶-33.2w⁴-0.4w²+9w+0.0025/(0.05+75w⁴-4.2w²)²+(17.5w³-3w)²

w	Re
0.1	11.2
	-0,05
∞	∞

 

смотреть график на схеме 2а

Re^I=Re₂-Re₁ Re^II=Re₁-Re₄ Re^III=Re₄-Re₅

Re^I=1-11.2 Re^II=11.2+0.05 Re^III=-0.05-0

X=0/0.1=0 X=0.1/1=0.1 X=0.1

 

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП.ЭС.02.12.00.ПЗ.

 

 

	h()
0.5	1.38
2.5	0.674
3.5	0.815
5.0	0.895
6.5	0.904
9.5	0.932
	0.950
	0.956
17.5	0.966
19.5	0.967

T	H(t)
0.5	0.176
5.5	0.986
7.0	0.987
11.5	1.016
	1.010
	1.015
21.5	1.010
23.5	1.011
	1.004

T	H(t)
0.5	0.176
5.5	0.986
7.0	0.987
11.5	1.016
	1.010
	1.015
21.5	1.010
23.5	1.011
	1.004

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП.ЭС.02.12.00.ПЗ.

 

T	H(t)
0.5
5.5
7.0
11.5	11.4
	11.4
	11.4
21.5	11.4
23.5	11.4
	11.3

T	H(t)
	-14.1
	-6.9
	-8.3
	-9.1
	-9.2
	-9.5
	-9.7
	-9.8
	-9.9

T	H(t)
0.5	-0.009
5.5	-0.05
7.0	-0.05
11.5	-0.05
	-0.05
	-0.05
21.5	-0.05
23.5	-0.05
	-0.05