Күш жұмысын анықтау. Потенциал және потенциал емес күштер. Потенциалды энергия және оны нормалау. Энергияның сақталу заңы.

Жұмыс пен жылдамдық өзгерісінің арасындағы байланысты табайық. Әуелі күш Х өсі бойымен әсер ететін және қозғалыс осы өс бойында болатын бірөлшемді жағдайда қарастырайық. Нүкте қозғалысының теңдеуін шеше отырып (бұл теңдеудің екі бөлімін де v_x-ке көбейтіп) , (66)

біржолата мынаны табамыз: , (67)

мұндағы m_o – нүктенің массасы, ал – нүктенің кинетикалық энергиясы.

Материялық нүктенің кинетикалық энергиясының оның екі түрлі орналасуы арасындағы орын ауыстыруы кезіндегі өзгеруі осы жердегі күштің атқарған жұмысына тең.

Нүкте алғашқыдағыдай түзу бойымен емес ерікті траекториямен қозғалсын делік (7 сурет).

 

7 Сурет.

 

Қозғалыс траекториясын қысқа кесінділерге бөлейік. Осы кесіндідегі элементарлық жұмыс:

. (68)

Кесінділердің ұзындықтарын () нөлге қарай, ал олардың санын – шексіздікке ұмталдыра отырып, ерікті траектория бойынша орын ауыстыру кезіндегі күштің жұмысын аламыз:

. (69)

Осы теңдеудің оң жақ бөлігіндегі интеграл – L сызығының бойымен, 1 және 2 нүктелердің арасында алынған – қисыксызықты интеграл деп аталады.

Енді қозғалыстың жалпы теңдеуін қарастырайық:

. (70)

Бұл теңдеуді шеше отырып (теңдеудің екі бөлігін де -ға көбейтіп) мынаны табамыз:

. (71)

Көп жағдайда күштің қасиеттері соншалықты, тіпті (71)-дегі оң жақ бөлім (энергияның өлшемділігіне ие шама) механика аясында анық мәнге ие болады.

Потенциалды (консервативті) күштер. Күштерді олардың қасиеттері бойынша екі класқа бөлуге болады. Бірінші класс күштері үшін, екі нүкте арасында орын ауыстыру барысындағы жұмыс осы орын ауыстыру кезіндегі жүрілген жолға тәуелді емес, ал екінші класс күштері үшін – тәуелді.

Жұмысы траекторияның бастапқы және соңғы нүктелеріне тәуелді, бірақ оның түріне тәуелсіз болатын күштер потенциалды (консервативті) деп аталады. Бұл күштерге тартылыс күштері жатады.

"Потенциалды күштер" деген атаудың орнына көбінесе "потенциалды өрістер" делінеді. Күш өрісі деп нүктелерінде қарастырылып отырған күштер әрекет ететін кеңістік аясын айтады.

Потенциалды өріс дегеніміз, ондағы жұмыс, яғни интеграл:

(72)

1 және 2 нүктелердің орналасу орындарына ғана тәуелді болып, бірақ осы нүктелерді қосатын жолдың түріне тәуелсіз болса. Бұл анықтамаға басқаша математикалық пішін беруге де болады:

, (73)

және сөзбен анықтама формасында айтсақ: 1) өріс потенциалды деп айтылады, егер де өрістің күш жұмысы кез келген тұйық контур бойынша нөлге тең болса; және критерий формасында айтсақ: 2) өріс потенциалды болу үшін, өрістің күш жұмысы кез келген контур бойынша нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Енді әлдебір математикалық теореманы дәлелдеусіз түрде келтіре отырып пайдалансақ: егер F_x, F_y, F_z потенциалды күштің проекциялары болған болса онда мынадай функцияның E_n(x, y, z) бар болғаны, және оның көмегінің арқасында осы проекциялар мынандай формулалармен бейнеленеді:

(74)

E_n функциясының көмегі арқылы (71) теңдіктің оң жақ бөлігіндегі күштің жұмысын есептеп шығаруга болады. Ол үшін бірінші мына теңдікті есептеп шығарамыз:

.

Теңдектен интеграл алсақ 1-ші нүктеден 2 нүктеге орын ауыстыру кезіндегі жұмысты аламыз:

, (75)

мұнда E_n1 мен E_n2 – E_n функциясының 1 және 2 нүктелердегі мәндері.

(71) орнына (75) ескерсек, мынаған ие боламыз:

. (76)

Осылайша, 1 және 2 нүктелердің арасындағы кинетикалық энергия E_n шамасы дәл сондай нүктелердің арасында орын ауыстыру кезінде теріс белгімен өзгергеніндей мәнге өзгерді. Теңдікті мынадай түрде қайта жазған ыңғайлы:

. (77)

Бұдан шығатыны, қозғалыс кезіндегі кинетикалық энергия мен E_n шамасының қосындысы тұрақты болып қалады:

. (78)

E_n шамасы материялы нүктенің потенциалды энергиясы, ал теңдік – энергияның сақталу заңы деп аталады.

Енді потенциалдық энергияның күшпен байланысын көрсетуге болады. Күшті вектор ретінде жазайық:

, (79)

мұнда – координаттық остер бойындағы бірлік векторлар.

Потенциалды күштің проекцияларын

(80)

ескере отырып табатынымыз:

(81)

Набла операторын пайдалансақ ,

біржолата алатынымыз

. (82)

Потенциалды энергияны таңдаудағы еркінділікті пайдалана отырып, оны кеңістіктің қайсыбір нүктесіндегі кез келген алдын ала берілген мәнге тең етіп алуға болады. Сонда барлық қалған нүктелердегі оның мәні сөз жоқ фиксацияланған болып бекітіледі. Потенциалды энергияға сөзсіздікті берудің бұл процедурасы нормалау деп аталады.

Релятивистік жағдайдағы энергияның сақталу заңы:

. (83)

E_n потенциалды энергияның бейрелятивистік теориядағыдай мәні тура сол, ал

(84)

шамасы дененің толық энергиясы деп аталады.

Дене тыныштық жағдайында тұрған кезде (v=0), ол

E₀=m_oc² (85)

энергиясына ие, ол тыныштық энергиясы деп аталады.

Ерікті жылдамдықпен қозғалушы дененің E_k кинетикалық энергиясы мына формуламен беріледі:

. (86)

Релятивистік массаға арналған

(87)

формуланы есте ұстай отырып толық энергияға арналған теңдікті мына түрде жазамыз:

E=mc². (88)

Релятивистік импульске арналған

(89)

теңдеуден және толық энергия теңдеуінен

(90)

. (91)

Релятивистік және релятивистік емес жағдайлардағы бөлшектің энергиясы мен импульсінің арасындағы байланыс. Масса мен тыныштық энергия арасындағы қатынас. Байланыс энергиясы. Массаның дефектісі

Классикалық механика түсінігі бойынша дененің массасы өзгермейтін тұрақты шама. Бірақ ХІХ ғасырдың аяғында аса үлкен жылдамдықпен қозғалатын электрондарды бақылай отырып, денелердің массаларының жылдамдықтарына байланысты екендігін,дәлірек айтсақ, жылдамдық артқан сайын массаның көбейетіндігін төмендегі заңдылық бойынша тапты:

(6.6)

мұнда материялық нүктенің (дененің) тыныштық массасы, релятивистік масса.

Релятивистік массаны пайдалана отырып, релятивистік импульсті инерциялық санақ жүйесіне былай жазамыз.

(6.7)

 

Олай болса Ньютонның екінші заңы лоренц түрлендірулеріне қатысты да инвариантты болады.Сондықтан материалдық нүктенің релятивистік динамикасының негізгі заңы болады.

(6.8)

 

Кеңістік біртекті болғандықтан релятивистік механикада релятивистік импульстың сақталу заңы орындалады: тұйық жүйенің релятивистік импульсі тұрақты болады.

Тыныштық массасы денеге күш әсер етсін. Осы күштің жұмысын есептейік. ығысу аралығында істелген элементар жұмыс

.

Барлық аралықта жұмысты табу үшін. (5.3) формуладан күштің мәнін жоғарыдағы орнына қойып,оны интегралдаймыз.

мұнда -дененің жылдамдығы. , –интегралдай тұрақтысы. –масса өзгермейді деп аламыз да, күштің толық жұмысы дененің кинетикалық энергиясын арттыруға кетеді:

,

(6.9)

-нің мәнін (6.9) формуласынан табамыз, ол үшін болғанда болатындығын ескерсек, олай болса

немесе (6.6) формуласынан релятивистік массаның мәнін қойсақ.

.

(6.10)

Кинетикалық энергия дененің қозғалғандағы энергиясы мен тыныштықтағы энергияларының айырымына тең.

Дене қандай күйде болса да, толық релятивистік энергиямен сипатталады.

(6.11)

дене тыныштықта болса, онда энергия

.

(6.12)

(6.13) формуланың физикалық ұғымы: тыныштық массасы бар зат күйіндегі материалдық дененің тыныштық массасы жоқ сәуле түріндегі материалдық денеге айнала алатындығын (және керісінше де өзгереді),бірақ энергияның өзгермейтіндігін білдіреді. Бұған электрон мен позитронның (тыныштық массалары бірдей екі бөлшектің) қосылып (одан кейін олар жойылады), электрмагниттік сәулеге айналуы және электрмагниттік сәуленің энергиясының тура екі бөлшектің тыныштық энергияларының қосындысына тең болуын мысал етіп аламыз (бөлшектердің кинетикалық энергиясы нольге тең деп алынады).