За­да­ние 22 № 338773. Све­жие фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся из 288 кг све­жих фрук­тов?

За­да­ние 22 № 314487. Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 2 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 6 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 6 км/ч?

Ре­ше­ние.

Пусть S км — рас­сто­я­ние, на ко­то­рое от ла­ге­ря от­плы­ли ту­ри­сты. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 3 км/ч, а ско­рость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое они про­плы­ли туда и об­рат­но, со­став­ля­ет Учи­ты­вая, что они были на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лись через 6 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

От­сю­да S = 9 км.

 

За­да­ние 22 № 338510. Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­прав­ля­ют­ся в 60-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый едет со ско­ро­стью на 10 км/ч боль­шей, чем вто­рой, и при­бы­ва­ет к фи­ни­шу на 3 часа рань­ше вто­ро­го. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна тогда ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна Время дви­же­ния вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста на 3 часа боль­ше вре­ме­ни дви­же­ния пер­во­го Со­ста­вим урав­не­ние и решим его:

 

 

По усло­вию за­да­чи нам под­хо­дят толь­ко по­ло­жи­тель­ные корни, по­это­му ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна

 

За­да­ние 22 № 314503. Катер прошёл от одной при­ста­ни до дру­гой, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми по реке равно 48 км, сде­лал сто­ян­ку на 20 мин и вер­нул­ся об­рат­но через после на­ча­ла по­езд­ки. Най­ди­те ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде равна 20 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость те­че­ния реки равна км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра по те­че­нию реки равна км/ч, а про­тив те­че­ния — км/ч. Время дви­же­ния ка­те­ра по те­че­нию реки равно , а про­тив те­че­ния — по смыс­лу за­да­чи Весь путь занял . Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

 

 

Тем самым, ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

 

 

За­да­ние 22 № 338552. Пер­вый ве­ло­си­пе­дист вы­ехал из посёлка по шоссе со ско­ро­стью 18 км/ч. Через час после него со ско­ро­стью 16 км/ч из того же посёлка в том же на­прав­ле­нии вы­ехал вто­рой ве­ло­си­пе­дист, а ещё через час — тре­тий. Най­ди­те ско­рость тре­тье­го ве­ло­си­пе­ди­ста, если сна­ча­ла он до­гнал вто­ро­го, а через 4 часа после этого до­гнал пер­во­го.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость тре­тье­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна км/ч, а ч— время, за ко­то­рое он до­гнал вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста. На­ча­ло отсчёта вре­ме­ни — мо­мент, когда пер­вый ве­ло­си­пе­дист начал дви­же­ние. Тогда за время тре­тий ве­ло­си­пе­дист до­го­нит вто­ро­го, и к дан­но­му мо­мен­ту вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­едет рас­сто­я­ние км, а тре­тий — рас­сто­я­ние км. Ана­ло­гич­но за время тре­тий ве­ло­си­пе­дист до­го­нит пер­во­го, и к этому мо­мен­ту пер­вый ве­ло­си­пе­дист про­едет км, а тре­тий — км. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

 

 

Умно­жим пер­вое урав­не­ние на а вто­рое — на и вы­чтем пер­вое урав­не­ние из вто­ро­го:

 

 

По усло­вию за­да­чи под­хо­дит толь­ко по­ло­жи­тель­ный ко­рень, то есть Под­став­ляя во вто­рое урав­не­ние найдём

 

За­да­ние 22 № 338561. Из А в В од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ли­ста. Пер­вый про­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью весь путь. Вто­рой про­ехал первую по­ло­ви­ну пути со ско­ро­стью, мень­шей ско­ро­сти пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста на 11 км/ч, а вто­рую по­ло­ви­ну пути про­ехал со ско­ро­стью 66 км/ч, в ре­зуль­та­те чего при­был в В од­но­вре­мен­но с пер­вым ав­то­мо­би­ли­стом. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста, если из­вест­но, что она боль­ше 40 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть — рас­сто­я­ние между A и В, км/ч — ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ли­ста на пер­вой по­ло­ви­не пути,. Пер­вый ав­то­мо­би­лист про­де­лал весь путь за часов, а вто­рой за часов. Время, за ко­то­рое они про­еха­ли весь путь от A до B оди­на­ко­во, сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

 

 

По усло­вию за­да­чи ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста боль­ше 40 км/ч, сле­до­ва­тель­но, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста равна 44 км/ч.

 

 

За­да­ние 22 № 314507. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 13 км, вышел пе­ше­ход. Од­но­вре­мен­но с ним из В в А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 11 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 8 км от пунк­та В.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да — x км/ч, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна (x + 11) км/ч. Пе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а ве­ло­си­пе­дист про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −22 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость пе­ше­хо­да равна 5 км/ч.

 

За­да­ние 22 № 314509. Рас­сто­я­ние между двумя при­ста­ня­ми по реке равно 24 км. Мо­тор­ная лодка про­шла от одной при­ста­ни до дру­гой, сде­ла­ла сто­ян­ку на 1 ч 40 мин и вер­ну­лась об­рат­но. Всё пу­те­ше­ствие за­ня­ло. Най­ди­те ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что ско­рость мо­тор­ной лодки в сто­я­чей воде равна 10 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость те­че­ния реки равна км/ч. Тогда ско­рость лодки по те­че­нию реки равна км/ч, а про­тив те­че­ния км/ч. Время дви­же­ния лодки от одной при­ста­ни до дру­гой по те­че­нию реки равно а про­тив те­че­ния . Весь путь занял Со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −2 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч.

 

За­да­ние 22 № 338582. Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 165 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 4 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 5 часов, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 18 часов после от­плы­тия из него.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, тогда км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да по те­че­нию, км/ч — ско­рость теп­ло­хо­да про­тив те­че­ния. По те­че­нию теп­ло­ход дви­жет­ся часов, а про­тив те­че­ния часов, весь путь занял часов, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

 

Ко­рень не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость теп­ло­хо­да равна 26 км/ч.

 

За­да­ние 22 № 338584. Из го­ро­дов А и В нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист. Мо­то­цик­лист при­е­хал в В на 40 минут рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист при­е­хал в А, а встре­ти­лись они через 15 минут после вы­ез­да. Сколь­ко часов за­тра­тил на путь из В в А ве­ло­си­пе­дист?

Ре­ше­ние.

Пусть — ско­рость мо­то­цик­ли­ста, — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста. При­мер рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми за еди­ни­цу. Мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист встре­ти­лись через 15 минут, то есть через часа, после вы­ез­да, по­это­му Мо­то­цик­лист при­был в B на 40 минут рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист в А, от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

 

 

 

Ско­рость мо­то­цик­ли­ста не может быть от­ри­ца­тель­ной, по­это­му ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна 1, а время, за­тра­чен­ное на весь путь равно од­но­му часу.

 

За­да­ние 22 № 338585. Баржа про­шла по те­че­нию реки 40 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 30 км, за­тра­тив на весь путь 5 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — соб­ствен­ная ско­рость баржи, тогда км/ч — ско­рость баржи про­тив те­че­ния, а — ско­рость баржи по те­че­нию. По те­че­ния баржа дви­га­лась часов, а про­тив те­че­ния часов. Баржа за­тра­ти­ла на весь путь 5 часов, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

 

Ко­рень −1 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость баржи равна 15 км/ч.

 

За­да­ние 22 № 314511. На пост гу­бер­на­то­ра об­ла­сти пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Кли­мов, Ле­бе­дев, Мишин. Во время вы­бо­ров за Ми­ши­на было от­да­но в 4 раза мень­ше го­ло­сов, чем за Кли­мо­ва, а за Ле­бе­де­ва — в 1,5 раза боль­ше, чем за Кли­мо­ва и Ми­ши­на вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­бе­ди­те­лем на вы­бо­рах ока­жет­ся Ле­бе­дев. Пусть ко­ли­че­ство го­ло­сов, от­дан­ных за Ле­бе­де­ва равно . Тогда за Кли­мо­ва и Ми­ши­на вме­сте от­да­ли . Про­цент го­ло­сов, от­дан­ных за Ле­бе­де­ва

 

За­да­ние 22 № 338603. Пер­вые 5 часов ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 60 км/ч, сле­ду­ю­щие 3 часа — со ско­ро­стью 100 км/ч, а по­след­ние 4 часа — со ско­ро­стью 75 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

Ре­ше­ние.

Сред­няя ско­рость, это от­но­ше­ние прой­ден­но­го пути ко вре­ме­ни, за ко­то­рый прой­ден этот путь. За пер­вые 5 часов ав­то­мо­биль про­ехал 5 · 60 = 300 км, за сле­ду­ю­щие три часа — 3 · 100 = 300 км и за по­след­ние 4 часа — 4 · 75 = 300 км. Весь путь со­ста­вил 300 + 300 + 300 = 900 км, а сум­мар­ное время дви­же­ния — 5 + 3 + 4 = 12 часов, от­ку­да сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути 900/12 = 75 км/ч.

 

За­да­ние 22 № 314513. Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу вышли два ту­ри­ста и встре­ти­лись в 10 км от В. Ту­рист, шед­ший из А, сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость ту­ри­ста, шед­ше­го из В, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч мень­шей, чем ту­рист, шед­ший из А.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость ту­ри­ста, шед­ше­го из B — x км/ч, тогда ско­рость ту­ри­ста, шед­ше­го из А равна (x + 1) км/ч. Ту­рист, от­прав­ляв­ший­ся из А, прошёл свою часть пути за , а от­прав­ляв­ший­ся из В, про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −4 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость ту­ри­ста, шед­ше­го из В, равна 5 км/ч.

 

За­да­ние 22 № 314565. Рас­сто­я­ние между двумя при­ста­ня­ми по реке равно 80 км. Катер прошёл от одной при­ста­ни до дру­гой, сде­лал сто­ян­ку на 1 ч 20 мин и вер­нул­ся об­рат­но. Всё пу­те­ше­ствие за­ня­ло Най­ди­те ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде равна 18 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость те­че­ния реки равна км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра по те­че­нию реки равна км/ч, а про­тив те­че­ния км/ч. Время дви­же­ния ка­те­ра от одной при­ста­ни до дру­гой по те­че­нию реки равно , а про­тив те­че­ния . Весь путь занял . Со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −2 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч.

За­да­ние 22 № 314566. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 13 км, вышел пе­ше­ход. Через пол­ча­са нав­стре­чу ему из В в А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, ко­то­рый ехал со ско­ро­стью, на 11 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 5 км от пунк­та А.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да — x км/ч, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна (x + 11) км/ч. TcПе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а ве­ло­си­пе­дист при­был к месту встре­чи через если от­счи­ты­вать время от мо­мен­та на­ча­ла дви­же­ния пе­ше­хо­да. Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −22 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость пе­ше­хо­да равна 5 км/ч, сле­до­ва­тель­но, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна 5 + 11 = 16 км/ч..

 

За­да­ние 22 № 338660. Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 10 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей, на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Пусть — число де­та­лей, из­го­тав­ли­ва­е­мых пер­вым ра­бо­чим за час, тогда — число де­та­лей, из­го­тав­ли­ва­е­мых вто­рым ра­бо­чим за час. Заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 3 часа быст­рее, чем вто­рой, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −10 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, пер­вый ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет 20 де­та­лей в час. Зна­чит, вто­рой ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет 10 де­та­лей в час.

 

За­да­ние 22 № 338584. Из го­ро­дов А и В нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист. Мо­то­цик­лист при­е­хал в В на 40 минут рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист при­е­хал в А, а встре­ти­лись они через 15 минут после вы­ез­да. Сколь­ко часов за­тра­тил на путь из В в А ве­ло­си­пе­дист?

Ре­ше­ние.

Пусть — ско­рость мо­то­цик­ли­ста, — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста. При­мер рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми за еди­ни­цу. Мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист встре­ти­лись через 15 минут, то есть через часа, после вы­ез­да, по­это­му Мо­то­цик­лист при­был в B на 40 минут рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист в А, от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

 

 

 

Ско­рость мо­то­цик­ли­ста не может быть от­ри­ца­тель­ной, по­это­му ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна 1, а время, за­тра­чен­ное на весь путь равно од­но­му часу.

 

За­да­ние 22 № 338706. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 10 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая труба. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 60 лит­ров она за­пол­ня­ет на 3 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту, тогда вто­рая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту. Ре­зер­ву­ар объёмом 60 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 3 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба, со­ста­вим урав­не­ние:

 

Ко­рень −20 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, пер­вая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров воды в ми­ну­ту.

 

За­да­ние 22 № 338712. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 266 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Ре­ше­ние.

Пусть — число де­та­лей, из­го­тов­лен­ных вто­рой бри­га­дой, тогда пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей, а тре­тья — де­та­лей. Вме­сте три бри­гад из­го­то­ви­ли 266 де­та­лей, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 116 де­та­лей, сле­до­ва­тель­но, пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей, а тре­тья — 121 де­таль. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 121 − 29 = 92 де­та­ли боль­ше.

 

За­да­ние 16 № 137267. В пе­ри­од рас­про­да­жи ма­га­зин сни­жал цены два­жды: в пер­вый раз на 30%, во вто­рой – на 50%. Сколь­ко руб­лей стал сто­ить чай­ник после вто­ро­го сни­же­ния цен, если до на­ча­ла рас­про­да­жи он стоил 700 р.?

Ре­ше­ние.

После того, как сни­зи­ли цену в пер­вый раз, товар стал сто­ить 70%. Най­дем, сколь­ко стал сто­ить чай­ник после пер­во­го сни­же­ния цен: руб. После того, как сни­зи­ли цену по­втор­но, товар стал сто­ить 50%. Най­дем, сколь­ко стал сто­ить чай­ник после вто­ро­го сни­же­ния цен: руб.

 

За­да­ние 22 № 338773. Све­жие фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко сухих фрук­тов по­лу­чит­ся из 288 кг све­жих фрук­тов?

Ре­ше­ние.

Све­жие фрук­ты со­дер­жат 20% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а вы­су­шен­ные — 72%. В 288 кг све­жих фрук­тов со­дер­жит­ся 0,2 · 288 = 57,6 кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Такое ко­ли­че­ство пи­та­тель­но­го ве­ще­ства будет со­дер­жать­ся в кг вы­су­шен­ных фрук­тов.

 

Задание №A354C0 Смешали некоторое количество 17-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 81-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

 

 

Ответ: 44