Математикалық индукция тәсілін қолданып шығарылатын есептер

Жалпы және жеке ой қорытындылар.Дедукция және индукция.Индукция- жеке ой қорытындысынан жалпы ой қорытындысына көшу.Толық математикалық индукция тәсілі қазіргі кезеңде мектеп оқулықтарында өз орнын таба алмай келеді.Солай бола тұрса да бұл тәсіл жоғары математикада елеулі орын алады, ол математикалық дәлелдмелерде қолданылатын ең күшті қару болып есептеледі.Атап айтқанда бұл көптеген теоремаларды қысқа да абсолют қатаң түрде дәлелдеуге мүмкіндік береді.

Дәлелдеменің қолайлылығын талап ету - қазіргі кезде математикада жетекші орын алады.Индукция үш түрлі болады:

1.Толымсыз индукция;

2.Толық индукция;

3.Математикалық индукция.

1.Толымсыз индкция.Жеке факторлар өте көп болып, бірақ олардың барлығын қарастырмай, тек кейбіреулерін ғана қарастырып, олардағы ерекшеліктерді байқап алып, сол арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, ол толымсыз индукция болады.

Сонымен, толымсыз индукция дегеніміз зерттеліп отырған құбылыстың, объектілердің барлық жағдайларын қамтымайтын алғы шарттардан шығатын жалпы ой қорытындысы.

Толымсыз индуция жасаған қорытынды дұрыс болмауы мүмкін, өйткені алғашқы фактілерде бар ерекшелік кейінгілерінде болмайтын жағдай болады.Сондықтан, толымсыз индукция барлық жек жағдайлар түгел қарастырылмағандықтан, бұған сүйеніп айтылған қорытынды дұрыс бола бермейді.Сондықтан, бұл ғылыми дәлелдеудің қатаң түрі бола алмайды.

Мысалы, егер n=1,2,3,4 мәндерін қабылдаса, P(n)= өрнегінің сан мәндері P(1)=19; P(2)=23; P(3)=29; P(4)=37 жай сандар болады.Осы сияқты n-ге 11-ге дейінгі мәндерді беріп тексерсек, P(n) өрнегі жай сандарды көрсетеді.Бірақ n=16 болса, өрнегінің сан мәні P(16)= =17х17 болады.Бұл құрама сан, ол 17-ге бөлінеді.

Бірақ солай бола тұрса да толымсыз индукцияның ғылымда маңызы күшті.Оның пайдасы белгілі бір зерттеу мәселесінде кейбір жеке жағдайларды қарастыру арқылы сәйкес заңдылықты байқап, жалпы қорытындының қандай болатынын жобалауға болады.

Мысалы, атақты Гольдбах проблемасы, Ферманың ұлы теоремасы толымсыз индукция арқылы тұжырымдалған.

Арифметикада сандардың бөлінгіштік белгіліері көбінесе толымсыз индукция әдісімен түсіндіріледі.

2.Толық индукция.Толық индукция дегеніміз зерттеліп отырған құбылыстың немесе объектінің барлық жағдайларын толық қамтитын алғы шарттардан жалпы қорытынды шығаруға болатын индукциялық ой қорытындысы.

Математикадан мынадай мысал келтірейік.

Геометрияда "іштей сызылған бұрыш өзінің тірелетін доғасының жартысымен өлшенеді" деген теорема бар.Бұл теореманы дәлелдеуде үш түрлі жеке жағдайды қарастырамыз:

1.Шеңбердің центрі бұрыштың ішінде жатады;

2.Шеңбердің центрі бұрыштың сыртында жатады;

3. Шеңбердің центрі бұрыштың қабырғасында жатады.

Бұл келтірілген үш түрлі жағдайдан басқа жағдай кездесуі мүмкін емес.Сондықтан барлық жеке жағдайлар қамтылды деуге болады.Осылардың әрқайсысы үшін теоремадағы айтылған пікір дұрыс болатындықтан, барлық жағдайда да оны ақиқат десек,қателеспейміз.

Қорытып айтқанда, толық индукцияға сүйеніп айтылған ой қорытындысы әрқашан ақиқат болады.

Бірақ математикада толық индукцияны жиі қолдануға мүмкіндік бермейтін қолайсыз жағдайлар бар.Оның себебі белгілі ой қорытындысын шығару үшін жоғарыда көрсетілгендей барлық жеке жағдайларды тексеру керек.Ал математикада ондай жеке жағдайлардың шексіз көп болып келетіні жиі кездеседі.Ондай пікірлердің ақиқаттығына толық индукция арқылы да жеткізу мүмкін емес.

3.Математикалық индукция.Математикалық индукция жасалған қорытынды бірнеше дербес жағдайлар үшін дұрыс болса, дербес жағдайлар өте көп болғандықтан, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмаса, бірақ сол қорытындының жалпы дұрыстығын қалайда білу керек болса, онда математикалық индукция әдісі қолданылады.Математикалық индукция тәсілінің негізіне мынадай принцип жатады:

Қандай да пікір 1.Натурал сан n=1 болғанда дұрыс болса және 2.Бұл пікірдің кез келген n= мәні үшін дұрыстығынан, оның n= +1 үшін де дұрыс болатындығы тағайындалса, онда бұл пікір кез келген натурал сан n үшін дұрыс болады.

Қазіргі мағынасындағы индукция әдісін ең алғаш қолданған француз ғалымы Б.Паскаль (1623-1662) болатын.

Енді индукция әдісінің математикалық олимпиадалық есептерді шығаруда қолданылуына мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Қосындыны табыңдар: .

Шешуі: Алдымен, бірінші, екінші, үшінші және төртінші қосылғыштардың қосындысын табамыз:

 

 

 

Қарастырылған әрбір жағдайда алымында қосылғыштардың саны, ал бөлімінде қосылғыштарының санынан бірге артық сан шығатынын көреміз.Бұл жалпы жағдай үшін мынадай болжам жасауға мүмкіндік береді: кез келген n үшін мына теңдік орындалады: .

Енді бұл пікірдің дұрыстығын математикалық индукция әдісін қолданып дәлелдейміз.

1) n=1 үшін пікір дұрыс, өйткені .

2) Айталық, енді бұл пікір n= үшін дұрыс болсын, яғни

 

3) Оның n= +1 үшін дұрыс болатындығын, яғни

орындалатындығын көрсетейік.Шынында да,

Бірақ біздің ұйғаруымыз бойынша
Сондықтан,

 

Сонымен, пікірін n= үшін дұрыс жорығанда, оның n= +1 үшін де дұрыс болатындығы дәлелденді.Сондықтан математикалық индукция әдісі бойынша

 

кез келген натурал сан n үшін дұрыс болады.Бұл есептің балаларға тән шешімі мынадай: жүз бөлшектің қосындысын мына түрде жазуға болады:

Бұл тиімді әдіс болғанымен, ол универсал емес.

2-мысал. Арифметикалық прогрессияның n- мүшесі мына формуламен анықталатынын дәлелдеңдер:

мұндағы прогрессияның бірінші мүшесі, ал d-оның айырмасы.

Дәлелдеуі: Бұл мысалдың жоғарыдағы мысалыдан өзгешелігі - мұнда пікірді құрудың қажеті жоқ, ол дайын түрінде берілген, тек оның дұрыстығын дәлелдеу керек.

Теңдіктің дұрыстығын математикалық индукция әдісі бойынша дәлелдейміз.

1. n=1 болса, онда (1) формула дұрыс, өйткені

2. Енді (1) формуланы кез келген n= үшін дұрыс деп жорығанда, яғни анық болғанда, 3. Оның n= +1 үшін де дұрыс болатындығын, яғни екендігін көрсетейік.

Шынында да,

Сонымен, арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің
формуласының анықталатындығы дәлелденді.

3-мысал. n-нің кез келген натурал мәндерінде санының 19-ға бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі: Егер n болса, онда болады да, бұл сан 19-ға бөлінеді.Айталық, енді үшін де санының да 19-ға бөлінетінін көрсетейік.

Расында да,

болатындықтан және қосылғыштардың әрқайсысы 19-ға бөлінетіндіктен, саны да 19-ға бөлінеді. Олай болса, толық математикалық индукция әдісі бойынша n-нің кез келген натурал мәнінде саны 19-ға бөлінеді.

4-мысал. n-нің кез келген натурал мәндерінде

теңдігінің орындалатынын дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі: Егер n=1 болса, онда болады.

Айталық, енді n=k (k саны үшін де бұл теңдік дұрыс болсын, яғни .Сонда n=k+1 үшін бұл теңбе-теңдіктің дұрыс болатындығын, яғни болатынын көрсетейік.Ол үшін алдыңғы теңбе-теңдіктің дұрыстығын пайдаланамыз:

Демек, қосындысын есептеу формуласы дұрыс екен.

5-мысал. Теңбе-теңдікті дәлелдеңдер:

n рет

Дәлелдеуі: n=1 болғанда, теңдік орындалады. .

Айталық, енді бұл теңдік n=k үшін дұрыс болғанда, яғни ,оның n=k+1 үшін дұрыс болатындығын, яғни
.

n рет k+1рет

орындалатындығын көрсетейік.

Расында да,

Сонымен, жоғарыдағы теңбе-теңдіктің кез келген натурал сан n үшін дұрыстығы дәлелденді.

6-мысал. Жазықтықта кез келген екеуі өзара параллель болмайтын және кез келген үшеуі бір нүктеден өтпейтін n түзу жүргізілген.Бұл түзулер жазықтықты неше бөлікке бөлетінін анықтаңдар.

Дәлелдеуі: Жазықтықта бір түзу екі бөлікке, екі түзу төрт бөлікке, үш түзу 7 облысқа, төрт 11 облысқа бөлетіндігін байқау қиын емес.

Айталық, n түзу жазықтықты N(n) бөлікке бөлсін. Сонда N(1)=2, N(2)=N(1)+2, N(3)=N(2)+3, N(4)=N(3)+4 тағы сол сияқты N(n)=N(n-1)+n болатындығы айқын.

Төмендегі n теңдікті өзара мүшелеп қосып, мынаны табамыз:

Енді осы теңдіктің дұрыстығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейік.n=1 үшін теңдіктің дұрыстығы айқын.Айталық, жазықтықта жүргізілген n түзу оны бөлікке бөлгенде жазықтықтағы түзу бөлікке бөлетінін дәлелдейміз.

Шынында да,

болатындықтан, жазықтықтағы жүргізілген n түзу оны бөлікке бөлетіндігі дәлелденді.