Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Бесконечно малая функция.

Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Теорема (о связи понятий бесконечно малой и предела):

Если функция f(x) при имеет предел, равный числу А, т.е. , то она может быть представлена в виде:

f(x)=A+ ,

где - бесконечно малая функция.

 

Бесконечно малые величины можно сравнивать. Для этого используют следующее правило сравнения:

 

 

Примеры: Сравнить порядок малости величин:

Решение:

 

Определение дифференциала.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х Х. Тогда существует конечная производная этой функции:

.

На основании теоремы о связи понятий бесконечно малой и предела функции можно записать

где - бесконечно малая величина при ,

откуда

 

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:

1) линейное относительно -

2) нелинейное – бесконечно малая величина, более высокого порядка, чем , - .

Определение: Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно , часть приращения функции, равная произведению производной этой функции на приращение аргумента

dy= .

Замечание. Дифференциал аргумента dx принимают равным приращению аргумента , т.е., dx= .

Тогда равенство примет вид:

 

Из определения дифференциала функции с одной переменной следует еще одно определение производной функции:

производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента:

 

Свойства дифференциала.

 

Как видно из определения дифференциала функции с одной переменной, его вычисление опирается на умение вычислять производные функций, а значит, его вычисление опирается на теорию производных функции с одной переменной.

1. На основании определения дифференциала функции дифференциал постоянной равен 0: dc = 0.

 

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

d(Cu) = Cdu.

 

1. Дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых:

d(u v) = du dv.

 

4. Дифференциал произведения двух функций равен сумме произведений одной из функций на дифференциал другой:

d(uv) = vdu+udv.

 

5. Дифференциал частного двух функций вычисляется по формуле:

.

 

6. Свойство инвариантности формы дифференциала (неизменности):

,

т.е., формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от аргумента х рассматривать функцию от зависимой переменной (сложная функция).

Замечание: Отработка умений вычислять дифференциалы различных функций – самостоятельная работа студентов.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то принимают, что приращение функции приблизительно равно дифференциалу функции, т.е., .

Так как , где dx= , то имеет место формула для выполнения приближенных вычислений с помощью понятия дифференциала функции с одной переменной:

 

ПРИМЕР:

Вычислить приближенно значение выражения :