Задачи для самостоятельного решения.

Алгебраические многочлены.

 

Многочленом степени n от переменной х называется функция вида , где числа a₀, a₁, …, a_n называются коэффициентами многочлена, причём a₀≠0 – старший коэффициент, a_n – свободный член.

Если a₀=1, многочлен называется приведённым.

Теорема о делении многочленов. Для любых двух многочленов P(x) и Q(x) можно найти такие многочлены S(x) и R(x), что P(x)=Q(x)∙S(x)+R(x), причём степень R(x) меньше степени Q(x) или же R(x) 0. Многочлены S(x) и R(x) определяются однозначно.

Многочлен S(x) называется частным от деления P(x) на Q(x), а R(x) – остатком от этого деления.

Если остаток от деления P(x) на Q(x) равен нулю, то Q(x) называется делителем многочлена P(x).

Процесс деления многочленов аналогичен процессу деления натуральных чисел “столбиком” и осуществляется таким образом, чтобы на каждом промежуточном этапе деления исчезала старшая степень делимого многочлена.

Пример 1. Разделить многочлен на многочлен

Решение.

 

Для деления многочлена P_n(x) на двучлен x-c удобно применять схему Горнера. Всякий многочлен единственным образом представим в виде P_n(x)=(x-c)Q_n-1(x)+R, где – неполное частное, а число R – остаток. Коэффициенты Q_n-1(x) и R вычисляются по формулам:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Многочлены. Стр.1

Для вычисления по схеме Горнера используют таблицу, верхняя строка которой задана, а нижняя заполняется в соответствии с формулами (*):

	a0	a1	…	an-1	an
с	b0	b1	…	bn-1	R

Пример 2. Разделить, пользуясь схемой Горнера, многочлен P₅(x)=15-2x³+7x на x-1.

Решение.

	-2	0	7	15
1	-2	0+1∙(-2)= -2	7+1∙(-2)= 5	15+1∙5= 20

Следовательно, Q₂(x)=-2x² - 2x +5, R=20. В результате имеем:

15 - 2x³ + 7x = (-2x^{2 2}- 2x +5)(x-1) + 20.

 

Теорема о тождественности многочленов. Многочлены P(x) и Q(x) тождественно равны (a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n b₀xⁿ+b₁x^n-1+…+b_n-1x+b_n) тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.

Число x₀ называется корнем многочлена P(x), если P(x₀)=0.

Теорема Безу. Число x₀ является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) без остатка делится на x-x₀, т.е. когда P(x) можно представить в виде P(x)=(x-x₀)∙Q(x)

Следствия: 1. Если x₁, …, x_n – корни многочлена P_n(x), то он представляется в виде P_n(x)=a₀(x-х₁)(x-x₂) … (x-x_n). 2. Остаток от деления многочлена P_n(x) на x-c равен числу P_n(c).

Подбор целого и рационального корней многочлена.

1. Если многочлен имеет целый корень, то этот корень находится среди делителей свободного члена этого многочлена.

2. Если многочлен имеет рациональный корень , то число m находится среди делителей свободного члена, а число n является делителем старшего коэффициента этого многочлена.

 

Задачи для самостоятельного решения.

№1. Разделить многочлен P(x)=4x⁴-16x³+3x²-5x+17 на многочлен Q(x)=2x²-3x+1.

№2. Разделить многочлен P(x)=x⁴+2x³-3x²-4x+1 на линейный многочлен Q(x)=x+1, пользуясь схемой Горнера.

№3. Разложить многочлен P(x)=2x⁴-5x³+3x²-x-2 на множители на множестве комплексных чисел.

№4. Разложить многочлен P(x)=6x⁴+11x³+26x²-9x-10 на множители на множестве комплексных чисел, если известны два его корня и .

Домашнее задание.

№1. Разделить многочлен P(x)=6x⁶-4x⁵+2x³-3 на многочлен Q(x)=x²-x+2.

№2. Разделить многочлен P(x)=2x⁴-x+1 на линейный многочлен Q(x)=x+3, пользуясь схемой Горнера.

№3. Разложить многочлен P(x)=x⁵-3x⁴-3x³-23x²-54x-30 на множители на множестве комплексных чисел.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Многочлены. Стр.2