Прямая и плоскость в пространстве

Определители

Для вычисления определителя второго порядка используют формулу:

A= =

- вычисление определителя 3-го порядка

,

- система m линейных уравнений относительно n неизвестных.

Напрявляющие косинусы:

Направляющие косинусы вектора связаны соотношением:

cos²а + cos² + cos² = 1

скалярное произведение-

- векторное произведение

,

Геометрический смысл векторного произведения

 

Смешанное произведение

- Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , и объем образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам:

Прямые на плоскости

А х + В у + С =0- общее уравнение прямой

1) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору ;

2) – уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору {каноническое уравнение прямой);

3) – параметрические уравнения прямой;

4) – уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях Ох и Оу соответственно

5) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки и ;

6) – уравнение прямой, проходящей через точку , k - угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох;

7) у = kx + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу;

8) – тангенс острого угла между двумя прямыми

и ;

9) и – условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и ;

10) – расстояние от точки до прямой Ах + By + С = 0;

11) , , ≠ –1 - координаты точки М(х, у), делящей отрезок в отношении , , ;

12) , – координаты середины отрезка , , .

13) – уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и .

 

Плоскость

– уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору = ={А;В;С)

2) Ах + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости, = {А, В, С} - нормальный вектор этой плоскости.

3) – уравнение плоскости в отрезках, где а, b, с - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью а на координатных осях Ох, Оу, Oz соответственно;

4) В качестве угла φ между плоскостями и принимают угол между их нормальными векторами:

или в координатной форме

6) Условие параллельности двух плоскостей и :

7) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

, , :

или в координатной форме:

 

.

 

 

8)

есть формула расстояния от точки до плоскости α.

Прямая и плоскость в пространстве

1) – канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору ;

2) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки и ;

 

3) уравнения

 

параметрические уравнения прямой в пространстве.

4) За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами

или в координатной форме

 

5) - условие перпендикулярности двух прямых и .

6) - условие параллельности двух прямых и в пространстве.

7) Общие уравнения прямой в пространстве

 

 

где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам .

Кривые второго порядка

Окружность

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

где М(x₀ y₀) - центр, R- радиус.

Эллипс

Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов - 2а.

Фокусы эллипса - , расстояние между ними - через 2с

каноническое уравнение эллипса имеет вид:

.

точка - центр эллипса, - большая и малая полуоси эллипса. Фокусы эллипса расположены в точках, удаленных на расстоянии от центра эллипса.

эксцентриситетом эллипса ().

Гипербола

канониче­ское уравнение имеет вид:

точка - центр гиперболы, - действительная и мнимая полуось.

- асимптоты гиперболы.

Парабола

Если директриса параболы перпендикулярна Ох (Ох - ось симметрии), то уравнение параболы имеет вид:

, где р - расстояние от фокуса до ди­ректрисы, точка (х₀; у₀) - вершина параболы.

Уравнение директрисы: .

Фокус в точке .

Если Оу - ось симметрии, то урав­нение параболы имеет вид:

. Уравнение директрисы: . Фокус в точке .

 

Таблица