ИДЗ-1 по теме «Вычисление предела функции в точке» Максимальная оценка: 12 баллов; Зачёт: ≥8 баллов.

Предел и непрерывность функции в точке.

. Пусть функция f определена в ПО(a,r_a>0)→ рассмотрим значения f(x)
в точках, «близких» к а.

Определение 1 называется пределом функции f «в точке »,
если её значения в точках, «достаточно близких к а», сколь угодно мало отличаются от А:

Эпсилон-дельта определение предела функции в точке:

(1) Определить (записать ): )
(2) Какие из записей f(1)=2; f(1)=∞; f(∞)=2; f(∞)=-∞ не определены?
Заменить их соответствующими «корректными» записями.
Определение 2. Функция f называется непрерывной в точке х=а », если её предел
в точке равен значению функции в точке

 

Утверждение 1. Элементарные функции (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические; их суммы, разности, произведения, отношения и композиции непрерывны ВО ВНУТРЕННИХ ТОЧКАХ области определения.

Следствие. Вычисление предела непрерывной функции сводится к вычислению её значения в точке.

Утверждение 2 (арифметические свойства предела).
Если существуют пределы функций и для них определена арифмиетическая операция (*) , (предел суммы, разности, произведения и отношения функций равен сумме, разности, произведению и отношению их пределов).

Замечание. Для «раскрытия» неопределённостей вида “0/0”, “∞/∞”, “∞ - ∞”, “0∙∞”
рекомендуется использовать алгебраические преобразования: вынесение множителя из суммы,
умножение числителя и знаменателя дроби на подходящий множитель (≠0), формулы сокращённого умножения. (см. 3. Введение в анализ, Е.Е. Жукова)

Примеры.

1.

Бесконечно-малые (б.м.) функции и их сравнение. Таблица равносильных б.м..

 

Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если .
Например, x²- x; e^x-1, tg(x), sin(x), cos(x)-1, ln(1+x) - б.м. при х-->0;

ln(x), (x-1)³ - б.м. при х-->1; h(x)=1/x - б.м. при х-->∞.

Пусть α(х) и β(х) - б/м при х®a. Рассмотрим предел их отношения, который, очевидно, определяется «скоростью» убывания этих функций при х→а:

Определение( Сравнение б.м.)
Пусть существует предел отношения б/малых .

(1) Если q=0, «α(x) называют « б.м. более высокого порядка малости при х→а» и пишут
(о-малое отн. β(х)) ⇔
(2) Если q = ∞ β(x) называют « б.м. более высокого порядка малости при х→а» и пишут
(о-малое отн. α(х)) ⇔

(3) Если q=1, α(х),b(х) называют «равносильными (эквивалентными) б.м. при х→а» и пишут ⇔ 1

Следствия

(1 ) Если f непрерывнав точке «а» ( ), то функция α(х) =f(x)-f(a) – б/м при х→а.

(2) Линейная комбинация конечного числа бесконечно малых - бесконечно малая функция
α, β - б.малые и γ(x) = С1∙α(x) +C2∙β(x) -б. малая;

(3) Произведение б. малых - б.малая более высокого порядка малости, чем любой множитель:

a,b - б. малые при x a γ(x) = a(x)∙ b(x) .(4)

Например, известно, что

ТАБЛИЦА РАВНОСИЛЬНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПРИ t 0.

1) sin(t) ~t	2) arcsin(t)~t	3) tg(t) ~t
4) arctg(t)~t	5)1 - cos(t) ~t2/2	6) ln(1 + t) ~ t
7) et- 1~ t	8) at- 1 ~ t∙ln(a); a>0; a1 et – 1 ~ t	9)

 

Приложение.

При вычислении пределов б.м. множители можно заменять на им равносильные б. малые.

Например,

========================================

ИДЗ-1 по теме «Вычисление предела функции в точке» Максимальная оценка: 12 баллов; Зачёт: ≥8 баллов.

Задание. Вычислить 4 предела,
раскрыв неопределённости алгебраическими методами,
заменой бесконечно малых функций на им равносильные,
используя Основное Логарифмическое Тождество.