Механические колебания основные формулы

• Уравнение гармонических колебаний

где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t — время; А, ω, φ— соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний; — фаза колебаний в момент t.

• Угловая частота колебаний

, или ,

где ν и Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

• Ускорение при гармоническом колебании

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a ₁ и А ₂ — амплитуды составляющих колебаний; φ₁ и φ₂— их начальные фазы.

• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν₁ и ν₂,

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A₁ и A₂ и начальны­ми фазами φ₁ и φ₂,

Если начальные фазы φ₁ и φ₂ составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение
принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

, или ,
где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k = т ω²).

• Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

где m — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

— приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
, или ,

где r — коэффициент сопротивления; δ — коэффициент затухания: ; ω₀— собственная угловая частота колебаний *

• Уравнение затухающих колебаний

где A (t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота.

• Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

I

где А ₀ — амплитуда колебаний в момент t =0.

• Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) — амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

, или

,

где — внешняя периодическая сила, действующая на
колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные
колебания; F₀ — ее амплитудное значение;

• Амплитуда вынужденных колебаний

• Резонансная частота и резонансная амплитуда и

Примеры решения задач

Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x (0)= см и х ^,(0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
мента t =0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:

Отсюда найдем начальную фазу:

* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ω (без индекса 0).

Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: φ=
= . Значению аргумента удовлетворяют
два значения угла:

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет-­
воряет еще и условию , найдем сначала :

Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения
начальных фаз и , найдем

Так как всегда A >0 и ω>0, то условию удовлетворяет толь­
ко первое значение начальной фазы.
Таким образом, искомая начальная
фаза

По найденному значению φ постро-­
им векторную диаграмму (рис. 6.1).
Пример 2. Материальная точка
массой т =5 г совершает гармоничес-­
кие колебания с частотой ν =0,5 Гц.
Амплитуда колебаний A =3 см. Оп-­
ределить: 1) скорость υ точки в мо-­
мент времени, когда смещение х=
= 1,5 см; 2) максимальную силу
F_max, действующую на точку; 3)
Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ­
ки.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

(1)

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

(2)

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квад­рат, разделим первое на А², второе на A² ω ² и сложим:

, или

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

см/с.

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус — ког­да направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Нью­тона:

(3)

где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

, или

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента вре­мени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети­ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии

T_max:

(4)

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив
: . Подставив выражение скорости в фор­-
мулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис­ления, получим

или мкДж.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m ₃=400 г укреплены шарики малых размеров массами m ₁=200 г и m ₂=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-

 

дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

(1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; т — его масса; l_С — расстояние от центра масс ма­ятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J ₁ и J₂ и стержня J ₃:

(2)

 

Принимая шарики за материальные точки, вы­разим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то
его момент инерции относительно этой оси J ₃ =
= . Подставив полученные выражения J ₁, J₂ и
J ₃ в формулу (2), найдем общий момент инерции фи-­
зического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

 

Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы
стержня:

Расстояние l_С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое рас­стояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

, или

Подставив значения величин m ₁, m ₂, m, l и произведя вычисле­ния, найдем

см.

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень
длиной l = 1 м и массой 3 т ₁ с прикрепленным к одному из его концов
обручем диаметром и массой т ₁. Горизонтальная ось Oz

 

маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника опреде­ляется по формуле

(1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; т — его масса; l _C — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме мо­ментов инерции стержня J ₁ и обруча J ₂:

(2).

Момент инерции стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей
через его центр масс, определяется по форму-­
ле . В данном случае т= 3 т ₁ и

Момент инерции обруча найдем, восполь-­
зовавшись теоремой Штейнера ,
где J — момент инерции относительно про-­
извольной оси; J₀ — момент инерции отно-­
сительно оси, проходящей через центр масс
параллельно заданной оси; а — расстояние
между указанными осями. Применив эту фор-­
мулу к обручу, получим

Рис. 6.3

Подставив выражения J ₁ и J ₂ в форму­лу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вра­щения:

Расстояние l_С от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J, l _с и массы маятника , найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим T =2,17 с.

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле-­
ния, выражаемых уравнениями ; х₂=
= , где А ₁ = 1 см, A ₂=2 см, с, с, ω =
= . 1. Определить начальные фазы φ₁ и φ ₂ составляющих коле-

баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

(1)

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

(2)

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирую­щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим

(3)

где — разность фаз составляющих колебаний.
Так как , то, подставляя найденные
значения φ₂ и φ₁ получим рад.

Рис. 6.4

Подставим значения А ₁ , А ₂ и в формулу (3) и
произведем вычисления:

A= 2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания опреде-­
лим непосредственно из рис. 6.4: , отку-­
да начальная фаза

Подставим значения А ₁, А ₂, φ ₁, φ ₂ и произведем вычисления:

= рад.

Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы,
то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это
позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде
, где A =2,65 см, , рад.

Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравне­ния которых

(1).

(2)

где a ₁ = 1 см, A ₂=2 см, . Найти уравнение траектории точ-­
ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать
направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, ис­ключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь-

зуемся формулой . В данном случае
, поэтому

Так как согласно формуле (1) , то уравнение траекто-­
рии

(3)

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от —1 до +1 см по оси Ох и от —2 до +2 см по оси Оу.

Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию см, и составим таблицу:

X, СМ	-1	—0,75	—0,5		+0,5	+ 1
у, см		±0,707	±1	±1,41	±1,73	±2

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на пло­скость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колеба­ния в соответствии с уравнениями движе­ния (1) и (2) (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как из­меняется ее положение с течением времени. В начальный момент t =0 координаты точ­ки равны x (0)=1 см и y (0)=2 см. В по­следующий момент времени, например при t ₁=l с, координаты точек изменятся и ста­нут равными х (1)= —1 см, y( t )=0. Зная положения точек в начальный и последую­щий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в мо­мент t ₂ = 2 с колеблющаяся точка достиг­нет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.

Задачи

Кинематика гармонических колебаний

6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид ,
где ω=π с^-1, τ=0,2 с. Определить период Т и начальную фазу φ
колебаний.

6.2. Определить период Т, частоту v и начальную фазу φ коле­баний, заданных уравнением , где ω=2,5π с^-1,
τ=0,4 с.

6.3. Точка совершает колебания по закону ,
где A =4 см. Определить начальную фазу φ, если: 1) х(0)=2 см и
; 2) х(0) = см и ; 3) х(0)=2см и ; 4)
х(0)= и . Построить векторную диаграмму для
момента t =0.

6.4. Точка совершает колебания.по закону ,
где A =4 см. Определить начальную фазу φ, если: 1) х(0)=2 см и
; 2) x (0)= см и ; 3) х (0)= см и ;
4) x (0)= см и . Построить векторную диаграмму для
момента t =0.

6.5. Точка совершает колебания по закону ,
где A =2 см; ; φ= π/4 рад. Построить графики зависимости
от времени: 1) смещения x(t); 2) скорости ; 3) ускорения

6.6. Точка совершает колебания с амплитудой A =4 см и перио­дом Т=2 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в
момент t =0 смещения x(0)=0 и . Определить фазу
для двух моментов времени: 1) когда смещение х= 1 см и ;
2) когда скорость = —6 см/с и x <0.

6.7. Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т=6 с. Диаметр d окружности равен 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось х, проходя­щую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось х равна нулю. Найти смещение х, скорость и ускорение проекции точки в момент t= 1 с.

6.8. Определить максимальные значения скорости и уско­рения точки, совершающей гармонические колебания с ампли­тудой А= 3 см и угловой частотой

6.9. Точка совершает колебания по закону , где А =
=5 см; . Определить ускорение точки в момент времени,
когда ее скорость =8 см/с.

6.10. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее
смещение x _mах точки равно 10 см, наибольшая скорость =
=20 см/с. Найти угловую частоту ω колебаний и максимальное уско­рение точки.

6.11. Максимальная скорость точки, совершающей гармо­нические колебания, равна10см/с, максимальное ускорение =
= 100 см/с². Найти угловую частоту ω колебаний, их период Т
и амплитуду А. Написать уравнение колебаний, приняв началь­ную фазу равной нулю.

6.12. Точка совершает колебания по закону . В не­который момент времени смещение х ₁ точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение х, стало равным 8 см. Найти амплитуду А колебаний.

6.13. Колебания точки происходят по закону .
В некоторый момент времени смещение х точки равно 5 см, ее скорость
= 20 см/с и ускорение =—80 см/с². Найти амплитуду A, угло­вую частоту ω, период Т колебаний и фазу в рассматри­ваемый момент времени.

Сложение колебаний

6.14. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A ₁=10 см и A ₂=6 см складыва­ются в одно колебание с амплитудой А= 14 см. Найти раз­ность фаз складываемых колебаний.

6.15. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складывают­ся в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний.

6.16. Определить амплитуду А и начальную фазу ф результи­
рующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний
одинаковых направления и периода: и
, где A ₁= A ₂=1 см; ω=π с^-1; τ=0,5 с. Найти уравнение резуль­тирующего колебания.

6.17. Точка участвует в двух одинаково направленных колеба­ниях: и , где а ₁ = 1 см; A ₂=2 см; ω=
= 1 с^-1. Определить амплитуду А результирующего колебания,
его частоту v и начальную фазу φ. Найти уравнение этого движе­ния.

6.18. Складываются два гармонических колебания одного на­
правления с одинаковыми периодами T ₁= T ₂=1,5 с и амплитудами
А ₁ =А ₂ = 2 см. Начальные фазы колебаний и . Опре­делить амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колеба­ния. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба
векторную диаграмму сложения амплитуд.

6.19. Складываются три гармонических колебания одного на­правления с одинаковыми периодами Т₁=Т₂=Т₃=2 с и амплиту­дами A ₁= A ₂= A ₃=3 см. Начальные фазы колебаний φ₁=0, φ₂=π/3, φ₃=2π/3. Построить векторную диаграмму сложения ампли­туд. Определить из чертежа амплитуду А и начальную фазу φ ре­зультирующего колебания. Найти его уравнение.

6.20. Складываются два гармонических колебания одинаковой
частоты и одинакового направления: и x ₂=
= . Начертить векторную диаграмму для момента
времени t =0. Определить аналитически амплитуду А и начальную
фазу φ результирующего колебания. Отложить A и φ на векторной
диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания (в три­гонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух
случаев: 1) А ₁ = 1 см, φ₁=π/3; A ₂=2 см, φ₂=5π/6; 2) А₁= 1 см,
φ₁=2π/3; A ₂=1 см, φ₂=7π/6.

6.21. Два камертона звучат одновременно. Частоты ν₁ и ν₂ их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период Т биений.

6.22. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания,
выражаемых уравнениями и , где
а ₁= 2 см, A ₂=1 см, , τ=0,5 с. Найти уравнение траектории
и построить ее, показав направление движения точки.

6.23. Точка совершает одновременно два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям
и выражаемых уравнениями и ,
где а ₁ = 4 см, A ₁=8 см, , τ=1 с. Найти уравнение траекто­рии точки и построить график ее движения.

6.24. Точка совершает одновременно два гармонических колеба­ния одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикуляр­ным направлениями выражаемых уравнениями: 1) и

Найти (для восьми случаев) уравнение траектории точки, пост­роить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: А=2 см, A ₁=3 см, А ₂ = 1 см; φ₁=π/2, φ₂=π.

6.25. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и
, где A ₁ = 2 см, A ₂=1 см. Найти уравнение траектории
точки и построить ее, указав направление движения.

6.26. Точка одновременно совершает два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям
и выражаемых уравнениями и , где А ₁ =
=0,5 см; A ₂=2 см. Найти уравнение траектории точки и построить
ее, указав направление движения.

6.27. Движение точки задано уравнениями и у=
= , где A ₁=10 см, A ₂=5 см, ω=2 с^-1, τ=π/4 с. Найти
уравнение траектории и скорости точки в момент времени t =0,5 с.

6.28. Материальная точка участвует одновременно в двух вза­имно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями
и , где A ₁ =2 см, A ₂=1 см. Найти
уравнение траектории и построить ее.

6.29. Точка участвует одновременно в двух гармонических коле­баниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлени­ям описываемых уравнениями: 1) и

Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: A =2 см; A ₁ =з см.

6.30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­-
кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и

y=A₂ sin 0,5ω t, где A ₁ = 2 см, A ₂=3 см. Найти уравнение траекто­рии точки и построить ее, указав направление движения.

6.31. Смещение светящейся точки на экране осциллографа явля­ется результатом сложения двух взаимно перпендикулярных коле­баний, которые описываются уравнениями: 1) х=А sin 3 ω t и у = A sin 2ω t; 2) х=А sin 3ω t и y = A cos 2ω t; 3) х=А sin 3ω t и y= A cos ω t.

Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, построить траекторию светящейся точки на экране. Принять А =4 см.

Динамика гармонических колебаний. Маятники

6.32. Материальная точка массой т =50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид х=А cos ω t, где А = 10 см, ω=5 с^-1. Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях: 1) в момент, когда фаза ω t =π/3; 2) в положении наибольшего смещения точ­ки.

6.33. Колебания материальной точки массой т =0,1 г происхо­дят согласно уравнению х = A cos ω t, где A =5 см; ω=20 с^-1. Опре­делить максимальные значения возвращающей силы F_max и кинети­ческой энергии Т _mах.

6.34. Найти возвращающую силу F в момент t =1 с и полную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по закону х=А cos ω t, где А = 20 см; ω=2π/3 с^-1. Масса т материальной точки равна 10 г.

6.35. Колебания материальной точки происходят согласно урав­нению х=A cos ω t, где A =8 см, ω=π/6 с^-1. В момент, когда возвра­щающая сила F в первый раз достигла значения —5 мН, потенци­альная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу ω t.

6.36. Грузик массой m =250 г, подвешенный к пружине, колеб­лется по вертикали с периодом Т= 1 с. Определить жесткость k пружины.

6.37. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на х=9 см. Каков будет период Т коле­баний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?

6.38. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A =4 см. Определить полную энергию Е колебаний гири, если жесткость k пружины равна 1 кН/м.

6.39. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.

6.40. Математический маятник длиной l= 1 м установлен в лиф­те. Лифт поднимается с ускорением а =2,5 м/с². Определить период Т колебаний маятника.

6.41. На концах тонкого стержня длиной l =30 см укреплены оди­наковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d=10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого физического ма­ятника. Массой стержня пренебречь.

6.42. На стержне длиной l =30 см укреплены два одинаковых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведен­ную длину L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.

6.43. Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l =30 см (рис. 6.6), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период Т колебаний системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки.

6.44. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизон­тально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Ра­диус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.

 

Рис. 6.6

Рис. 6.7

 

6.45. Однородный диск радиусом R =30 см колеблется около го­ризонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилинд­рической поверхности диска. Каков период Т его колебаний?

6.46. Диск радиусом R= 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендику­лярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого маятника.

6.47. Из тонкого однородного диска радиусом R =20 см вырезана часть, имеющая вид круга радиусом r= 10 см, так, как это показа­но на рис. 6.7. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси О, совпадающей с одной из образующих ци­линдрической поверхности диска. Найти период Т колебаний такого маятника.

6.48. Математический маятник длиной l ₁=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l ₂=60 см син­хронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.

6.49. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня дли­ной l =120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние а от центра масс стержня. При каком значении а период Т колебаний имеет наименьшее значение?

6.50. Физический маятник представляет собой тонкий однород­ный стержень массой т с укрепленным на нем маленьким шариком массой т. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить период Т гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изобра­женных на рис. 6.8. Длина l стержня равна 1 м. Шарик рассматри­вать как материальную точку.

 

Рис. 6.9

Рис. 6.8

 

6.51. Физический маятник представляет собой тонкий однород­ный стержень массой т с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами т и 2 т. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Опре­делить частоту ν гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображенных на рис. 6.9. Длина l стержня равна 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки.

6.52. Тело массой т =4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом T ₁=0,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, пери­од T ₂ колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции J тела относи­тельно оси колебаний.

6.53. Ареометр массой т =50 г, имеющий трубку диаметром d = 1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период Т этих колебаний.

6.54. В открытую с обоих концов U-образную трубку с площа­дью поперечного сечения S =0,4 см² быстро вливают ртуть массой т =200 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке.

6.55. Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находит­ся лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период Т коле­баний бревна равен 5 с. Определить длину l бревна.

Затухающие колебания

6.56. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t₁ =5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от на­чального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

6.57. За время t =8 мин амплитуда затухающих колебаний маят­ника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания δ.

6.58. Амплитуда колебаний маятника длиной l= 1 м за время t =10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний Θ.

6.59. Логарифмический декремент колебаний Θ маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сде­лать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

6.60. Гиря массой т =500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k =20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний Θ=0,004. Опреде­лить число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в n =2 раза. За какое вре­мя t произойдет это уменьшение?

6.61. Тело массой т =5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t= 50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Опре­делить коэффициент сопротивления b.

6.62. Определить период Т затухающих колебаний, если период Т₀ собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент колебаний Θ=0,628.

6.63. Найти число N полных колебаний системы, в течение кото­рых энергия системы уменьшилась в n =2 раза. Логарифмический декре­мент колебаний Θ=0,01.

Рис. 6.10

6.64. Тело массой т =1 кг нахо­дится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления b =0,05 кг/с. С по­мощью двух одинаковых пружин жесткостью k =50 Н/м каждое тело удерживается в положении равнове­сия, пружины при этом не деформиро­ваны (рис. 6.10). Тело сместили от положения равновесия и

отпустили. Определить: 1) коэффициент затухания δ; 2) частоту ν колебаний; 3) логарифмический декре­мент колебаний Θ; 4) число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз.

Вынужденные колебания. Резонанс

6.65. Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h =1 мм. При какой частоте вращения п якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса?

6.66. Вагон массой т =80 т имеет четыре рессоры. Жесткость k

пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости υ вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина l рельса равна 12,8 м?

6.67. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц. Определить частоту ν₀ собственных колеба­ний, если резонансная частота ν_peз=998 Гц.

6.68. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν₀=l кГц собственных колебаний системы, характери­зуемой коэффициентом затухания δ=400 с^-1.

6.69. Определить логарифмический декремент колебаний Θ коле­бательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты ν₀=10 кГц на Δν=2 Гц.

6.70. Период Т ₀ собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период Т того же маятника стал рав­ным 0,56 с. Определить резонансную частоту ν _peз колебаний.

6.71. Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м, масса т груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r =2·10^-2 кг/с. Опре­делить коэффициент затухания δ и резонансную амплитуду A _рез, если амплитудное значение вынуждающей силы F ₀=10 мН.

6.72. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффи­циентом сопротивления r= 1 г/с. Считая затухание малым, опреде­лить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда A _рез=0,5 см и частота ν ₀ собственных колебаний равна 10 Гц.

6.73. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте ν₁=400 Гц и ν₂=600 Гц равны между собой. Определить ре­зонансную частоту ν_peз. Затуханием пренебречь.

6.74. К спиральной пружине жесткостью k= 10 Н/м подвесили грузик массой т =10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления b равным 0,1 кг/с, определить: 1) частоту ν₀ собственных колебаний; 2) резонансную частоту ν_peз; 3) резонансную амплитуду A _рез, если вынуждающая сила изменя­ется по гармоническому закону и ее амплитудное значение F₀= =0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к статическому сме­щению под действием силы F₀.

6.75. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуж­дающей силы будет больше резонансной частоты: 1) на 10 %? 2) в два раза? Коэффициент затухания δ в обоих случаях принять равным 0,1 ω₀ (ω ₀ — угловая частота собственных колебаний).