Теңдеулер жүйесін шешу

Өткен параграф нәтижелері алгебралық теңдеулердің әртүрлі жүйесін өте оңай шешуге мүмкіндік береді. Теңдеулердің сол жақ бөлігі x,y белгісіздерге симметриялы тәуелді болатын теңдеулер жүйесі жиі кездесетіні туралы айтып кеткен едік. Бұл жағдайда жаңа пен белгісіздерге өту ыңғайлы. Белгісіздердің бұлай алмасуының пайдасы, бұл-алмасудан кейін тендеулер дәрежесі кішірейеді (өйткені екінші дәреженің көпмүшесі болып табылады). Басқаша айтқанда, жаңа белгісіздер жүйесі бастапқы жүйелерге қарағанда оңай шешіледі.

шамаларының мәні табылғаннан кейін, белгісіздердің бастапқы мағыналарын табу керек. Ол келесі теорема көмегімен орындалады. Бұл теорема мектептегі алгебра курсынан белгілі, оны қысқаша түрде еске түсірейік.

Теорема. екі ерікті сан дейік.

 

(*)

 

квадраттық теңдеуі және

 

(**)

 

 

теңдеулер жүйесі бір-бірімен байлансыты болады; егер z1+z2 - (*) квадраттық теңдеудің түбірі болса, онда (**) жүйенің екі шешімдері бар;

және басқа шешімдері болмайды; керісінше, егер x =a, y=b - (**) жүйе шешімі болса, онда a және b сандары (*) квадраттық теңдеулердің түбірі болады.

Дәлелдеу. Егер z 1 және z – (*) квадраттық теңдеудің түбірі болса, онда Виет формуласы бойынша

яғни,

сандары (**) жүйенің шешімдері болып табылады. (**) жүйенің басқа шешімдері болмауы теореманың соңғы сандарынан туындайды, оны дәлелдейік.

Сонымен, x=a, y=b - (**) жүйенің шешімі болсын делік, яғни

a + b =

ab =

Сонда алатынымыз:

z² -

Бұл a және b сандары (*) квадраттық теңдеулердің түбірлері болып табылатынын білдіреді. Теорема дәлелденді.

Мысалдар келтірейік.

1. - теңдеулер жүйесін шешу керек.

 

Жаңа белгісіздерді енгіземіз. 16 беттегі кестеге сүйене отырып, табатынымыз:

 

x³ + y³ =

сондықтан да жаңа белгісіздер үшін келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

Осы теңдеулер жүйесінен аламыз.

Сонымен, , яғни бастапқы x,y белгісіздер үшін келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұл теңдеулер жүйесі оңай шешіледі және біз бастапқы жүйенің келесі шешімдерін аламыз:

 

 

2. – теңдеулер жүйесін шешу керек.

Бұл да бірінші мысалға ұқсас шешіледі.

болғанда бастапқы жүйені

түріне келтіреміз. Бұдан үшін

15

немесе

квадраттық теңдеуін аламыз.

Бұл теңдеуден үшін екі мәнін табамыз:

Осылайша, x,y бастапқы белгісіздер үшін екі теңдеулер жүйесін аламыз:

және

 

Осы жүйелерді шеше отырып, бастапқы жүйенің төрт шешімдерін табамыз:

Теңдеулер шешімін көрсетілген тәсілмен шешу кезінде Безу теоремасы жиі пайда болады. Келесі мысалда осы теореманы пайдаландық.

3. – теңдеулер жүйесін шешу керек.

x+y, жаңа белгісіздерін енгіземіз. Сонда біздің жүйеміз келесі түрде жазылады:

Екінші теңдеуден мәнін тауып, оны бірінші теңдеуге қойып, белгісізге қатысты келесі теңдеуді аламыз:

˗

немесе -2 көбейткенде

шығады.

мәнін табу үшін үшінші дәрежелі шешудің жалпы формуласын қолдануға болар еді, алайда бұл жағдайда Безу теоремасын пайдалану онай болып отыр. Қарастырып отырған текше (куб) теңдеуге үшін толық мәнін қойсақ, онда біз мәні оның түбірі екенін көреміз. Безу теоремасы бойынша осы теңдеудің сол жақ бөлігі бөлінеді. Бөлуді шығарамыз:

 

-

Безу теоремасының салдары дәлелденгендей, теңдеу қалдықсыз бөлінеді, одан алатынымыз:

Демек карастырып отырған текше теңдеу екі теңдеуге бөлінеді: сызықтық , оның түбірі бар, және квадраттық - , ол екі түбір береді: 3, яғни және .

Сонымен, бізде екі ықтималдық бар: не не . теңдеуінен ₂ үшін қатысты мәнін табамыз: немесе 6. Осылайша, бастапқы белгісіздер үшін теңдеулер жүйесін аламыз.

Осылайша, біз теңдеулер жүйесін алдық.

 

белгісіздерін енгізгенде келесі жүйеге келеміз.

 

 

одан үшін квадраттық теңдеуін аламыз. Бұл квадраттық теңдеуді шешкенде, немесе екенін табамыз. Осылайша, есеп екі теңдеулер жүйесін шешуге әкеліп тіреледі:

 

Бірінші жүйенің келесі шешімдері бар:

 

 

y= болғандықтан, бастапқы белгісізі үшін екі шешімді аламыз:

 

. Екінші жүйе және үшін, демек үшін де екі шешім береді.