Деякі методи обчислення визначників

Лінійна алгебра

ЛЕКЦІЯ № 2

Визначники n-го порядку і їх властивості.

Матричні рівняння.

 

Навчальна мета: Ознайомити з поняттям і властивостями визначників n-го порядку і навчити обчислювати визначники відомими методами.

Розвивальна мета: розвивати логічне мислення, увагу.

Виховна мета: виховувати наполегливість у праці.

 

План

 

1. Визначник матриці

2. Властивості визначників

3. Деякі методи обчислення визначників

4. Матричні рівняння

 

Визначник матриці

Визначник, або детермінант квадратної матриці – це число, яке ставиться у відповідність матриці і може бути виражене через її елементи.

Визначником матриці називається число

М_к1- визначник матриці порядку n-1, утвореної з матриці А викреслюванням першого рядка і к-го стовпця.

Число М_к1 називається мінором елемента а_1к матриці А. Матриця порядку 1 складається з одного елемента і її визначник вважається таким, що дорівнює цьому елементу.

Застосуємо введене означення визначника до матриці 3-го порядку

 

 

Мінором M_ij елемента матриці А називається визначник матиці, утвореної з матриці А викресленням і-го рядка та j-го стовпця.

Алгебраїчним доповненням елемента матриці А називається добуток , де М_ij – мінор елемента .

Детермінант матриці – це число, яке дорівнює сумі добутків елементів першого рядка на їх алгебраїчні доповнення

Приклад 1.

Знайти мінор М₂₃, записати алгебраїчне доповнення А₃₃.

 

Властивості визначників

1. При транспонуванні матриці значення її визначника не змінюється.

2. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці знак її визначника змінюється на протилежний.

3. Визначник матриці, що має два однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю.

4. Якщо всі елементи деякого рядка (ст.) матриці мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (ст.) матриці дорівнюють нулю, то її визначник дорівнює нулю.

6.

7. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів деякого рядка (ст.) додати елементи іншого рядка(ст.), помножені на деяке число.

8. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку визначників цих матриць.

9. Сума добутків елементів деякого рядка матриці на їх алгебраїчні доповнення дорівнює визначнику матриці.

Приклад 2. Обчислити визначник через алгебраїчне доповнення

 

Деякі методи обчислення визначників

1. Перетворення в нуль всіх елементів рядка (стовпця), крім одного:

Приклад 3. Обчислити:

Використовуємо властивість 7:

Помножимо елементи 1-го стовпця на (-1)+4ст.

Всі елементи 3 рядка, крім , дорівнює нулю.

Розкладаючи за елементами 3-го рядка маємо:

Приклад 4. Обчислити:

Додамо до другого рядка перший, помножений на -2; до третього – перший, помножений на -3, а до четвертого – перший, помножений на -4.

Тепер розкладемо визначник за елементами першого стовпця:

Винесемо спільний множник елементів другого рядка і другого стовпця:

У новому визначнику легко отримати нуля в першому стовпці. Додамо перший рядок до другого, а до третього – перший, помножений на -7.Тоді визначник набере вигляд:

=

2. Метод зведення до трикутного вигляду:

Перетворення визначника до такого вигляду, коли всі елементи, які розміщені по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю. Отриманий визначник дорівнює добуткові елементів головної діагоналі.

 

3. Коли n=3, для визначника можна застосувати правило Саррюса:

Приклад 5. Обчислити:

Розв’язання:

det A=5*1*(-3)+(-2)*(-4)*6+3*0*1-6*1*1-3*(-2)*(-3)-0*(-4)*5=-15+48-6-18=

=48-39=9

Приклад 6. Обчислити визначник:

 

Матричні рівняння

Приклад 7. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

.

Домашнє завдання

Рудовський § 2

Література

1. Стрижак Т.Г. Елементи лінійної алгебри та конструктивна теорія визначників. – К.: Либідь, 1993

2. Валуце И.И., Дилигуля Т.Д. Математика для техникумов (на базі середньої школи).М “Наука” 1989р.

3. Солодовников А.С., Торопова Г.А. «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» Москва 1987р.