Потенциал электростатического поля

Найдем работу, совершаемую силой электростатического поля, созданного точечным зарядом q, по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2. Положение этих точек относительно заряда q определяется радиус-векторами , а положение заряда – радиус-вектором (рис.6).

На основании формул (5) и (4) в любой точке траектории на заряд q_пр действует сила

, (6)

где – напряженность поля заряда q в месте нахождения заряда .

Работа этой силы при элементарном перемещении заряда

, (7)

где , а работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2

. (8)

 

Из формулы (8) вытекает, что работа силы по перемещению заряда из одной точки электростатического поля в другую не зависит от формы пути, а зависит от координат начального и конечного положений заряда . Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.

 

 

	Рис. 6. Перемещение пробного заряда в электростатическом поле заряда q из точки 1 в точку 2

 

К такому же выводу мы придем, если будем рассматривать электростатическое поле, созданное не одним зарядом, а системой зарядов.

Из закона сохранения энергии следует, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле совершается за счет уменьшения потенциальной энергии этого заряда в поле:

 

. (9)

 

Зная величину в разных точках поля, по формуле (9) удобно определять работу, которую совершат силы поля по перемещению заряда из одной точки в другую. Следовательно, для электростатического поля можно ввести понятие энергетической характеристики аналогично тому, как была введена его силовая характеристика – напряженность . Для этого используют отношение , которое уже не зависит от , а определяется только зарядом, создающим поле, и положением точки. Это отношение называется потенциалом:

. (10)

Потенциал j электростатического поля есть физическая величина, численно равная потенциальной энергии, которой обладает точечный единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля..

Единицей потенциала является вольт (В):

.

На основании (9) и (10) можно записать формулу для работы, совершаемой силами электростатического поля по перемещению точечного заряда q из точки поля с потенциалом j₁ в точку с потенциалом j₂:

 

. (11)

Из выражения (11) вытекает физический смысл разности потенциалов:

разность потенциалов между двумя точками электростатического поля численно равна работе, которую совершают силы поля по перемещению точечного единичного положительного заряда из одной точки в другую.

На основании (5), (8) и (11) можно записать

или , (12)

где a – угол между вектором и вектором .

Формула (12) устанавливает связь разности потенциалов между двумя точками электростатического поля с напряженностью этого поля. Соотношение (12) справедливо не только для конечных перемещений, но и для бесконечно малых . Если точки 1 и 2 расположены бесконечно близко друг к другу, то убыль потенциала будет равна его дифференциалу со знаком минус, а в правой части (12) останется лишь подынтегральное выражение

. (13)

Потенциал, как и потенциальная энергия, определяется с точностью до произвольной постоянной С. В теории эту постоянную выбирают так, чтобы потенциал точки был равен нулю при бесконечном удалении ее от заряда, создающего поле . Это означает, что .

Следовательно,

. (14)

Выражение (14) позволяет дать еще одно определение потенциала, чаще используемое при решении задач: потенциал электростатического поля численно равен работе, которую совершает поле над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.

Эквипотенциальной называется поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. С помощью этих поверхностей можно графически изображать электростатические поля.

Выясним, как ориентированы эквипотенциальные поверхности по отношению к линиям напряженности, с помощью которых также графически изображаются электростатические поля. Для этого воспользуемся связью (13) разности потенциалов между двумя точками одной эквипотенциальной поверхности, находящимися на расстоянии друг от друга, с напряженностью в этом месте:

.

Равенство будет выполняться только в том случае, если угол a между вектором и эквипотенциальной поверхностью будет прямым . Следовательно, вектор всегда перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям и линии напря-женности всегда перпендикулярны к ним. Именно так проведены эквипотенциальные поверхности электростатического поля точечно-го заряда (рис. 7).

Обычно эквипотенциальные поверхности проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми соседними поверхностями были одинаковыми. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности в разных точках: там, где эти поверхности гуще, напряженность больше (рис. 7).