Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегральное исчисление функции одной переменной

Справочный материал по теме

Интегрирование простейших дробей

Опр. Простейшими называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n– натуральные числа (m³2, n³2) и b²– 4ac<0.

Интегралы от элементарных дробей вида Iи II приводятся к табличным подстановкой t= ax+ b.

II.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Примеры.

Интегрирование простейших дробей IVтипа основано на использовании следующей рекуррентной формулы:

В общем виде:

Первый интеграл с помощью подстановки t= u²+ s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x- a)^a…(x- b)^b(x²+ px+ q)^l…(x²+ rx+ s)^m), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i– некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_iприменяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример.

Вычислить интеграл:

Т.к. (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Пример.

Вычислить интеграл:

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

Разложим знаменатель полученной дроби на множители.

3x³– 4x²– 17x+ 6 = (x– 3)(3x²+ 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1).

Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю.

Получаем:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интеграл вида .

R–некоторая рациональная функциия от переменных sinxи cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда

Таким образом:

Пример. Вычислить интеграл:

Интеграл вида , если функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t= sinx.