Уравнение конвективного переноса субстанций

а) импульс: пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и изотропная (однородная), жидкость несжимаемая (ρ=const) и вязкая (μ≠0). В этом случае для оси z можно записать:

(дифференциальное уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости для нестационарного потока).

проекция локальных скоростей на координатной оси.

Это уравнение имеет 2 физических смысла:

1) баланс сил, действующих на движущийся элементарный объём жидкости dV.

2) основное балансовое соотношение (обс) по импульсу.

Это уравнение можно записать компактно:

оператор Лапласа (лапласиан), то есть сумма вторых производных от данной величины по координатным осям.

локальное накопление импульса (в данной точке жидкости) во времени за счёт изменения местной скорости в этой точке во времени.

локальное накопление импульса за счёт сил инерции.

локальное накопление импульса за счёт сил гравитации или источник, или сток импульса в пространственном контуре dV под действие внешней силы, то есть силы гравитации.

локальное накопление импульса под действие сил давления.

локальное накопление импульса за счёт сил внутреннего трения, то есть вязкости жидкости.

Из этого уравнения могут быть получены уравнения движения жидкости Эйлера и уравнение равновесной неподвижной жидкости Эйлера.

Из уравнения движения жидкости Эйлера можно получить уравнение Бернулли, а из уравнения равновесной неподвижной жидкости Эйлера – основное уравнение гидростатики.

б) уравнение конвективного переноса теплоты для нестационарного потока в движущейся среде: пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и однородная; С_р = const, ρ = const, λ = const. В этом случае обс запишется:

– уравнение Фурье-Кирхгофа (дифференциальное уравнение переноса теплоты для нестационарного потока).

t – температура жидкости.

проекция локальных скоростей на координатной оси.

коэффициент теплопроводности жидкости.

удельная массовая изобарная теплоёмкость жидкости.

локальное накопление теплоты во времени за счёт изменения температуры жидкости во времени в данной точке жидкости (для нестационарного потока).

локальное накопление теплоты за счёт конвекции.

локальное накопление теплоты за счёт кондукции (теплопроводности).

локальное накопление/выделение теплоты за счёт источников или стоков.

источник/сток теплоты в единице объёма жидкости за 1с, .

В целом, уравнение Фурье-Кирхгофа характеризует локальное накопление теплоты в движущемся элементарном контуре жидкости dV.

в) рассмотрим обс для переноса массы (вещества) в движущейся жидкости для нестационарного потока. Пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и изотропная (однородная), коэффициент молекулярной диффузии D = const.

В этом случае можно записать:

- уравнение конвективного переноса массы (вещества) для нестационарного потока Фика.

С – концентрация вещества, [C] = .

время.

локальное накопление вещества во времени за счёт изменения его концентрации во времени в данной точке жидкости.

локальное накопление вещества во времени за счёт конвекции.

локальное накопление вещества за счёт молекулярной диффузии.

источник/сток вещества в элементарном контуре dV за счёт химического превращения.

Отсюда видна аналогия дифференциальных уравнений конвективного переноса субстанций. Эта аналогия особенно характерна для переноса теплоты и вещества, и в меньшей степени для импульса.

Моделирование ХТП

В химико-технологических процессах имеет место множество факторов (t, p, w, ρ, μ, σ…).

Математическая модель – система уравнений и н6еравнтсв, адекватно описывающих данный процесс. Аналитически вывести математическую модель процесса сложно, к тому же, при этом получаются трудно разрешимые дифференциальные уравнения, поэтому применяют моделирование ХТП.

Имеется 2 метода моделирования:

1) метод теории подобия (метод обобщённых переменных), т.е физическое моделирование;

2) метод численного моделирования, т.е математическое моделирование (эксперимент).

На модель накладываются определённые ограничения, которые определяются условиями однозначности:

1) геометрическая форма (конструкция и размеры модели);

2) физические свойства компонентов (ρ, μ…);

3) начальные условия (t_нач, начальная концентрация и т.д.);

4) граничные условия (например, местная скорость жидкости на поверхности стенки равна 0).

При физическом моделировании получают уравнение в обобщённых переменных, т.е. критериальные уравнения. Их получают экспериментально, но опыты проводят не на промышленном аппарате (в натуре), а на его лабораторной модели. Лабораторная модель должна отвечать определённым требованиям, которые устанавливает теория подобия.

Теория подобия

Теория подобия – учение о методах научного обобщения результатов экспериментов для подобных процессов и явлений.

Чтобы натуральный объект и его лабораторная модель были подобны, между ними должны существовать:

1) геометрическое подобие;

2) физическое подобие;

3) временное подобие;

4) подобие начальных условий;

5) подобие граничных условий.

Подобия можно задавать с помощью констант подобия или инвариантов подобия.

Чтобы натура и модель были подобны должны быть постоянны отношения их сходственных величин.

а) натура б) модель

сходственные точки натуры и модели.

Составим константу геометрического подобия (масштабный множитель):

Запишем константу подобия скоростей жидкости:

Аналогично записываются константы подобия плотностей, вязкостей, давлений и т.д.

Составим константу временного подобия:

Константа временного подобия говорит о том, что промежутки времени, в течение которых частицы жидкости в натуре и модели описывают геометрически подобные траектории, находящиеся в постоянных соотношениях. При наличии подобия начальных и граничных условий постоянны отношения сходственных величин в начале и на границе натуры и модели.

Константы подобия зависят от соотношения размеров натуры и модели. Это создаёт трудности при масштабном переходе от натуры к модели. Этот переход осуществляется в несколько этапов:

1) проводят эксперименты на лабораторной модели;

2) на основе лабораторных экспериментальных данных создают пилотную установку и экспериментируют на этой установке;

3) проводят опыты на опытной полупромышленной установке;

4) на основе полученных данных создают промышленную установку.

Инварианты подобия не зависят от соотношения размеров натуры и модели. Их составляют в виде соотношений сходственных величин в пределах одной системы.

Запишем инвариант геометрического подобия:

Запишем инвариант подобия давления:

Аналогично записывают инварианты подобия скоростей, вязкостей и т.д.

Инвариант подобия, составленный в виде отношения одноимённых сходственных величин – параметрический критерий, или симплекс (∆).

Инвариант подобия, составленный в виде отношения разноимённых сходственных величин – критерий подобия.

Гидродинамическое подобие

Критерий подобия можно вывести: анализом размерностей физических величин; подобным преобразованием уравнений конвективного переноса субстанций.

Рассмотрим вывод критериев гидродинамического подобия подобным преобразованием уравнения движения вязкой жидкости для нестационарного потока Навье-Стокса:

Выполним подобные замены

– локальное накопление импульса во времени.

локальное накопление импульса за счёт сил инерции.

характерный (определяющий) геометрический размер, например, эквивалентного диаметра трубы, эквивалентного диаметра межтрубного пространства кожуха трубчатого теплообменного аппарата, эквивалентного диаметра зернистого слоя и т.д.

локальное накопление импульса за счёт сил гравитации.

локальное накопление импульсаза счёт сил гидростатическго давления.

локальное накопление импульса за счёт сил внутреннего трения (вязкости) жидкости.

Для получения критериев гидродинамического подобия будем составлять отношения полученных комплексов:

Re = критерий Рейнольдса (мера соотношения сил инерции и вязкости в потоке жидкости).

Ho = критерий гомохронности (мера соотношения локальных накоплений импульса за счёт сил инерции и во времени (для нестационарного потока) в потоке жидкости)

Fr = критерий Фруда (мера соотношения сил инерции и гравитации в потоке жидкости)

Eu = критерий Эйлера (мера соотношения изменения сил гидростатического давления и инерции в потоке жидкости)

Re, Ho, Fr, Eu – основные критерии гидродинамического подобия. Равенство этих критериев в сходственных точках и в сходственные моменты натуры и модели – необходимое и достаточное условие их гидродинамического подобия.

Кроме основных критериев гидродинамического подобия применяют также производные критерии. В процессе естественной конвекции (движения жидкости за счёт разности плоскотей) определить скорость жидкости практически невозможно, и её исключают:

критерий Галлелея (мера соотношения сил гравитации и вязкости в потоке жидкости)

критерий Архимеда (мера соотношения сил тяжести, вязкости и подъёмной (выталкивающей) в потоке жидкости)

Тепловое подобие

Критерий теплового подобия можно вывести подобным преобразованием уравнения конвективного переноса теплоты Фурье-Кирхгофа:

локальное накопление теплоты во времени (A)

локальное накопление теплоты за счёт конвекции (B)

локальное накопление теплоты за счёт кондукции (теплопроводности) (C)

Разделим (С) на (А):

Fo = – критерий теплового подобия Фурье (мера соотношения локальных накоплений теплоты за счёт кондукции и во времени) – выражает нестационарность потока

Разделим (В) на (С):

Pe = – критерий теплового подобия Пекле (мера соотношения скоростей теплопереноса за счёт конвекции и кондукции в потоке жидкости)

Рассмотри тепловое подобие в турбулентном потоке жидкости с учётом граничных условий:

скорость и температура жидкости в ядре потока

локальная скорость и температура жидкости на поверхности стенки

В данном случае конвекция усложняется в следствие образования пограничного пристенного гидродинамического ламинарного слоя толщиной . Это провоцирует появление пограничного теплового слоя (). В ядре потока тепло переносится преимущественно конвекцией (роль теплопроводнотси мала). В пограничном слое конвекция затухает, и тепло переносится преимущественно кондукцией, скорость которой намного ниже скорости конвективного переноса теплоты. В ядре потока настолько интенсивное перемешивание, что локальные скорости и температуры жидкости выравниваются во всех точках объёма ядра.

Тепловой потто в пограничном слое описывается законом Фурье:

,

где коэффициент теплопроводности жидкости [ ],

F – v верхность теплообмена,

градиент температуры.

Тепловой поток из ядра потока к поверхности стенки описывается уравнением теплоотдачи (охлаждения) Ньютона:

,

где α – коэффициент теплоотдачи[ ].

Для стационарного потока: (А)

Выполним подобное преобразование (А):

(B)

(C)

Разделим (С) на (В):

Nu = критерий теплового подобия Нуссельта (мера соотношения скорости теплопереноса за счёт теплоотдачи из ядра потока к поверхности стенки (совместно конвекцией и кондукцией) и теплопроводности в потоке жидкости)

Чем больше Nu, тем интенсивнее теплоотдача.

Кроме основных используют также производные критерии теплового подобия. Например:

критерий Прандтля (мера соотношений скоростного и теплового полей (локальных скоростей и температур) в потоке жидкости)

Критерий Прандтля характеризует соотношений толщин пограничных гидродинамического и теплового слоёв. Для газов , т.е. толщины теплового и гидродинамического слоёв примерно одинаковы. Для жидкостей .

Кроме того применяют ещё один производный критерий, аналог критерия Архимеда (для теплопереноса в условиях естественной конвекции):

критерий Грасгофа (мера соотношения сил тяжести, вязкости и подъёмной в потоке жидкости).

С применением теплового подобия определяют основные размеры теплообменных аппаратов, например, кожухотрубного теплообменника.

Вначале определяют коэффициенты теплоотдачи теплоносителей в трубном и межтрубном пространстве аппарата, при этом используют критериальное уравнение теплоотдачи:

Nu = f(Re, Pr) – для вынужденной конвекции

Nu = f(Gr, Pr) – для естественной конвекции

Далее вычисляют коэффициент теплопередачи:

уравнение аддитивности термических сопротивлений.

Затем определяют площадь поверхности теплопередачи:

основное уравнение теплопередачи, где Q – тепловой поток (тепловая нагрузка) [ ]

средний температурный напор (средняя разность температур теплоносителей в теплообменнике), т.е. средняя движущая сила теплопередачи.

Далее по площади с учётом числа труб подбирают стандартный кожухотрубный теплообменник.