Методика построения математической модели для компьютерной реализации. Описание полного цикла компьютерного моделирования.

Моделирование – это один из важнейших методов научного познания, с помощью которого создается модель (условный образ) объекта исследования. Сущность его заключается в том, что взаимосвязь исследуемых явлений и факторов передается в форме конкретных математических уравнений.

Процесс построения математической модели включает в себя следующие типовые этапы:

1. формулирование целей моделирования;

2. качественный анализ экосистемы, исходя из этих целей;

3. формулировку законов и правдоподобных гипотез относительно структуры экосистемы, механизмов ее поведения в целом или отдельных частей (при самоорганизации эти законы "находит" компьютер);

4. идентификацию модели (определение ее параметров);

5. верификацию модели (проверку ее работоспособности и оценку степени адекватности реальной экосистеме);

6. исследование модели (анализ устойчивости ее решений, чувствительности к изменениям параметров и пр.) и эксперимент с ней.

При математическом моделировании важным моментом является первоначальная математическая постановка задачи. Она предполагает описание математической модели и указания цели ее исследования. Для одной и той же математической модели могут быть сформулированы и решены различные математические задачи. Например, для наиболее распространенной модели, такой как функциональная зависимость y = f (x), могут быть сформулированы следующие математические задачи:

1) найти экстремальное значение функции f (x): max f (x) или min f (x);

2) найти значение x, при котором f (x) = 0;

3) найти значение производной f ' (x), значение интеграла и т.д.

Бурное развитие вычислительной техники выдвинуло на передний план при решении практических инженерных и научных задач вычислительную математику и программирование.

Вычислительная математика изучает построение и исследование численных методов решения математических задач посредством реализации соответствующих математических моделей.

Программирование обеспечивает их техническую реализацию.

Обобщенную схему математического моделирования можно представить следующим образом:

При реализации данного цикла требуют пристального внимания все его компоненты. Заключительным его этапом является получение численного результата и сопоставление его с целевой установкой и, как правило, для достижения желаемого или приемлемого результата всегда возникает необходимость изменения или математической модели, или вычислительного метода, или алгоритма, или программы.

Следует подчеркнуть важность и таких этапов данной технологии решения задач на ПК, как проведение расчетов и анализ результатов. (А именно, подготовка исходных данных, обоснование выбора вычислительного метода, корректность и точность решения). Важным моментом является также экономичность выбора: способа решения задачи, численного метода, модели ПК, вычислительной среды.

Методы реализации математических моделей можно разделить на три группы:

1) графические;

2) аналитические;

3) численные.

Указанные методы используются как самостоятельно, так и совместно.

Графические методы позволяют оценивать порядок искомых величин и направление расчетных алгоритмов.

Аналитические методы (точные, приближенные) упрощают фрагментарные расчеты и позволяют успешно решать задачи оценки корректности и точности численных решений.

Основным инструментом реализации математических моделей являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к вычислению конечного числа арифметических действий над числами и получение этого решения в виде числовых значений. Решение, получаемое численными методами, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность.