Евклид жазықтығындағы түзу

базис ортонормаланған базис болса, онда жазықтықтағы координаттар жүйесін тік бұрышты декарттық координаттар жүйесі деп атайды және деп белгілейді.

Тік бұрышты декарттық координаттар жүйесінде (ТДКЖ) аффиндік координаттар жүйесінде (АКЖ) шығарылатын барлық есептерді және метрикалық есептерді шешуге болады, яғни:

а) ұштарының координаттары арқылы вектордың координаттарын табу

;

б) кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаттарын табу

;

в) сызықтардың теңдеулерін жазу, мысалы түзудің:

( немесе ) – түзудің жалпы теңдеуі, - түзудің бағыттауыш векторы. векторы түзуге перпендикуляр .

ТДКЖ ерекшеліктері: ТДЖК-да:

1. Ұштарының координаттары арқылы вектордың және кесіндінің ұзындығын табуға болады.

;

2. Нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтықты;

3. Параллель түзулердің ара қашықтығын;

4. Түзулердің арасындағы бұрышты табуға болады.

түзу жалпы теңдеуімен берілсін. Теңдеудің екі жағын санына бөліп және ; ; белгілеп түзудің нормальдық теңдеуін табамыз:

, (3.6)

(3.6) теңдеудің геометриялық мағынасы:

1. - түзудің нормалі мен өсінің арасындағы бұрыш, яғни , мұнда векторларының арасындағы бағытталған (ориентированный) бұрыш.

 

- түзудің нормалі.

2. түзуі жалпы теңдеуімен берілсін, ал . Сонда нүктесінен түзуіне дейінгі ара қашықтық

(3.7)

формуласымен анықталады.

Ескерту. (3.7) формуласы түзудің нормальдық теңдеуіндегі коэффициентінің геометриялық мағынасын түсінуге мүмкіндік береді.

нүктесінен түзуіне дейінгі ара қашықтықты есептейік:

.

Сонымен, .

Екі түзудің арасындағы және түзулерін қарастырайық:

, - түзудің бағыттаушы векторы.

, - түзудің бағыттаушы векторы.

Осы түзулердің қиылысуында екі жұп вертикаль бұрыштар пайда болады. Олардың ең кіші түзулердің арасындағы бұрыш деп аталады да түрінде белгіленеді.

 

 

(суретте екінші жағжай көрсетілген)

Түзулердің перпендикулярлық шарты:

.

Түзулердің параллельдік шарты:

.

Бір ТДЖК-ен екіншіге көшкендегі нүктенің координаттарын түрлендіру формулалары

Екі ТДКЖ берілсін: және . Екі жағдай кездесуі мүмкін:

1. (сурет а);

2. (сурет б).

 

- ден - ке көшіру матрицасын құрастырайық. Бірінші бағана вектордың базисіндегі координаталардан тұрады, яғни екі жағдайда да , мұнда . Бағытталған бұрыш келесі формуламен анықталады:

	-а) жағдайда;
-б) жағдайда

Сонда ;

	-а) жағдайда;
-б) жағдайда.

Осыдан - а) жағдайда,

- б) жағдайда.

Сонымен, келесі формулалар шығады:

(3.8)

(3.9)

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар:

1. Жазықтықтағы аффиндік координаттар жүйесі.

2. Кеңістіктегі аффиндік координаттар жүйесі.

3. Аффиндік реперлер

1. Түзудің кесінділік теңдеуі

2. Нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтықты

3. Параллель түзулердің ара қашықтығы

4. Түзулердің арасындағы бұрыш

Әдебиеті: [1], [3], [4].

 

 

Сабақ.

Тақырып: Векторлық кеңістіктер, ішкі кеңістіктер. Өлшемі және базисы. Біртектес сызықтық теңдеулер жүйесінің шешулерінің фундаментальді жүйесі.

Сабақтың мақсаты: Студенттерге векторлардың сызықты тәуелділігі туралы түсінік беру. Векторлар жүйесінің базисі және ранг қасиеттерін баяндау. Студенттерге Евклид кеңістігі,оның нормасы, ортонормалданған векторлар жүйесі және базис, ортогонал толықтауыш түсінігін беру. Евклид кеңістігінің негізгі қасиеттерімен таныстыру

Қарастыратын сұрақтар:

1. Векторлардың сызықты тәуелділігі.
2. Векторлар жүйесінің базисі және ранг.
3. Базис бойынша векторларды бөліп- ажырату.

а) Нақты евклид кеңістігінің анықтамасы және оның қасиеттері.

б) Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері.

в) Ортонормалданған векторлар жүйесі және оның қасиеттері.

г) Ортонормалданған базисте координаттарымен өрнектелген екі вектордың скаляр көбейтіндісі

д) Ортогонал толықтауыш

е) Евклид кеңістігінің изоморфтылығы.