1. . . . .
2. . .
3. . . .
4. , , , . .
5. . .
6. . .
7. . . .
8. . . .
9. .
10. .
11. . .
12. . .
13. .
14. . .
15. . . . .
16. . .
17. .
I.
1.
. , , , , . .
. ( ).
.
A .
1*.
1. , Xj , .
2*. 1, 2, , n , , A .
3*. , , 1 , 1 .
.
, , , . ⊨.
2.
1.
1. ⊨ ⊨ Û ⊨ Ù .
2. ⊨ ⊨ Þ ⊨ Ú .
3. ⊨ ⊨ Þ ⊨ .
4. ⊨ Þ ⊨Ø .
5. ⊨ Þ⊨ .
6. ⊨ Þ ⊨ Xj.
7. ⊨ Þ ⊨ A 1, 2, , n .
2.
- X X
- X X
- ØØ X X
- Ø X Ú X
- Ø(X ÙØ X)
- X Ù Y X, X Ù Y Y
- X Ù X X
- X Ù Y Y Ù X
- X Ù(Y Ù Z)(X Ù Y)Ù Z
10. X X Ú Y, Y X Ú Y
11. X Ú X X
12. X Ú Y Y Ú X
13. X Ú(Y Ú Z)(X Ú Y)Ú Z
14. X Ù(Y Ú Z)(X Ù Y)Ú(X Ù Z)
15. X Ú(Y Ù Z)(X Ú Y)Ù(X Ú Z)
16. (X Y Ù Z)(X Y)Ù(X Z)
17. (X Ú Y Z)(X Z)Ù(Y Z)
18. (X Y)Ù(Ø X Y)Y
19. Ø(X Ù Y)Ø X ÚØ Y
|
|
20. Ø(X Ú Y)Ø X ÙØ Y
21. (X Y)Ø X Ú Y
22. Ø(X Y)X ÙØ Y
23. (X Y)Ø(X ÙØ Y)
24. (X Y)(X Y)Ù(Y X)
25. (X Y)(Y X)
26. (X Y)Ù(Y Z)(X Z)
27. (X Y)(Ø Y Ø X)
28. (X Y)(X Ù Z Y Ù Z)
29. (X Y)(X Ú Z Y Ú Z)
30. (X Y)((Y Z)(X Z))
31. (X Y)((Z X)(Z Y))
32. X (Y Z)Y (X Z)
33. X (Y Z)(X Ù Y Z)
34. (X Y)(X X Ù Y)
35. (X Y)(X Ú Y Y)
36. X (Y X Ù Y)
37. X (Y X)
38. Ø X (X Y)
39. (X (Y Z))((X Y)(X Z))
40. (Ø X Y)((Ø X Ø Y) X)
41. (Ø X Y ÙØ Y) X
42. X (X Ù Y (Ø X Ú Y))
43. X ((X Y)(X Y))
44. X ((X Y)Y)
45. Y ((X Ø Y)(X Ø Y))
46. Y ((X Ø Y)Ø X))
47. X Ù(X Y)X Ù Y
48. (X Y Ú Z)(X Y)Ú X Ù Z
. 1 2 , 3 , 4 , 5 , 7 11 , 8 12 , 9 13 , 14 15 , 16 , 17 , ( ) , 19 20 -, 21 23 , 22 , 24 , 25 , 26 , 2731 , , 27 , 32 , 33 , 34 , 35 , 37 , 38 , 39 , 4041 , 4246 .
3.
. º.
1.
1. .
2. ( ) , ( ) .
3. ( ) , 1 , º , º 1.
2.
1. ØØ º .
2. Ù º . 2¢. Ú º .
3. Ù º Ù . 3¢. Ú º Ú .
4. Ù( Ù ) º ( Ù )Ù . 4¢. Ú( Ú ) º ( Ú )Ú .
5. Ù( Ú ) º ( Ù )Ú( Ù ). 5¢. Ú( Ù ) º ( Ú )Ù( Ú ).
6. Ø( Ù ) º Ø ÚØ . 6¢. Ø( Ú ) º Ø ÙØ .
7. Ù( Ú ) º . 7¢. Ú( Ù ) º .
8. Ù º . 8¢. Ú º .
Ù º . Ú º .
|
|
9. ÙØ º . 9¢. ÚØ º .
10. º Ø Ú .
11. Ú º Ø .
12. Ø( ) º ÙØ .
13. º ( )Ù( ).
º (Ø Ú )Ù(Ø Ú ).
º ( Ù )Ú(Ø ÙØ ).
4. .
. . .
1. .
. .
1, 2, , n. .
2. .
3. 1. 1, 2, , n, , .
2. 1, 2, , n, , .
5.
¢ * .
.
1. Ø º ¢.
2. , * .
3. , * .
4. º , * º *.
5. , * * .
6.
. ⊨ É . . . . .
.
1. .
2. ( ) É , ( ) .
3. º , É É .
.
7. .
. n . .
F. (F).
F.
1, 2, , n.
. n .
8.
0 . 0. 1 . 1. . S. . L. . M.
. 0, 1, S, L, M .
9.
*. F , 0, 1, S, L, M.
II.
( )
1. .
. . . . . .
2. *
, .
, .
, , . .
, .
, , .
1. , , .
|
|
2. . , . . , , .
3. .
4. , , , .
5. , , .
, : C,V, F, R, L, S.
LSet, LAr.
.
.
.
3. *
.
1. , .
, .
2. ( ) . , , .
3. ,
. , , 13.
4. : , ,
I.
.
, , . .
II.
. () . . m , .
1*.
1. , ¹ .
2. = , = q1 ,
= , = q2 .
3. = ... ... , b1, b2,..., b n .
2.
1. s t , a , t .
2. t , j , a , j .
3. s, s¢ t , t¢ t s s¢, t¢ .
4. s s¢ , j , j¢ j s s¢, j¢ .
5. j, y c , j¢ j y c, j¢ .
III. ,
, .
3.
1. , .
2. a, a.
3. , .
|
|
5. :
D: I1(= D)+I2(z i ci Î D)+I3(w O )+I4(p R ). sqD.
d. át, d ñD.
d e V 0, ( V \ V 0).
1*. d e Free t, át, d ñD = át, e ñD.
. Free t = Æ, át, d ñD
d Î sq D. t átñD.
2*.
s t , a j , t¢ = t , d sq D, d ¢ d a j , d = ás, d ñD.
át¢, d ñD = át, d ¢ñD.
. . ºD. º.
3*.
1. .
2. ( ) s, s¢ t , t¢ t s s¢. s º s¢, t º t¢.
6. :
B = {0, 1}. 0 < 1.
d. áj, d ñD.
1*. d e Free j, áj, d ñD = áj, e ñD.
. Free j = Æ, áj, d ñD d Î sqD. j ájñD.
D⊨j[ d ] j d D (d j).
2.
1. j = p(t1, t2,..., t n), D⊨j[ d ] Û (át1, d ñD, át2, d ñD,..., át n, d ñD)Î R, R p D.
2. j = Øy, D⊨j[ d ] Û D⊭y[ d ].
3. j = j1Új2, D⊨j[ d ] Û D⊨j1[ d ] D⊨j2[ d ].
4. j = j1Ùj2, D⊨j[ d ] Û D⊨j1[ d ] D⊨j2[ d ].
5. j = j1j2, D⊨j[ d ] Û D⊨j1[ d ] D⊭j2[ d ].
6. j = j1j2, D⊨j[ d ] Û D⊨j1[ d ] D⊨j2[ d ] D⊭j1[ d ] D⊭j2[ d ].
7. j = ("a)y, D⊨j[ d ] Û D⊨y[ d ¢] d ¢, d a.
8. j = ($a)y, D⊨j[ d ] Û D⊨y[ d ¢] d ¢, d a.
7.
. . D⊨j. D⊭j.
1.
j .
1. , . .
2. j = p(t1, t2,..., t n), D⊨j Û (át1ñD, át2ñD,..., át n ñD)Î R, R p D.
3. j = Øy, D⊨j Û D⊭y.
4. j = j1Új2, D⊨j Û D⊨j1 D⊨j2.
5. j = j1Ùj2, D⊨j Û D⊨j1 D⊨j2.
6. j = j1j2, D⊨j Û D⊨j1 D⊭j2.
7. j = j1j2, D⊨j Û D⊨j1 D⊨j2 D⊭j1 D⊭j2.
8. j = ("a)y, D⊨j Û D⊨y[ d ] d Î sqD.
9. j = ($a)y, D⊨j Û D⊨y[ d ] d.
8.
. D⊨j.
. ⊨j.
, .
1*. j F, D , d Î sq D. s Î q B , áj, d ñD = áF, s ñ.
2. , , .
3.
I.2.1.
|
|
4*.
j , a j , t , j a j, j¢ = j , d sq D, d ¢ d a j , d = át, d ñD. áj¢, d ñD = áj, d ¢ñD.
5. j t a j¢ = j ,
1) ⊨ ("a)jj¢;
2) ⊨j¢($a)j.
6. 1. aÏ Free j,
) ⊨ ("a)(jÚy)jÚ("a)y, ,
) ⊨ ("a)(jy)(j("a)y).
2. aÏ Free y,
) ⊨ ("a)(jÚy)($a)jÚy;
) ⊨ ("a)(jy)(($a)jy).
3. ⊨j Û ⊨ ("a)j.
9.
. j É y. j º y.
1.
1.j É j.
2. j É y y É y, j º y .
3. j É y y É c, j É c.
2.
1.j º j.
2. j º y, y º j.
3. j º y y º c, j º c.
3.
j É y.
1. Ø y É Øj.
2. cÚj É cÚy.
3. cÙj É cÙy.
4.cj É cy.
5. cj É cy.
6. aÏ Free j, j É ("a)y.
7. ("a)j É ("a)y.
jÚc É yÚc.
jÙc É yÙc.
yc É jc.
jc É yc.
aÏ Free y, ($a)j É y.
($a)j É ($a)y
4.
j º y.
1. Ø j º Øy.
2. cÚj º cÚy.
3. cÙj º cÙy.
4.cj º cy.
5. cj º cy.
6. aÏ Free j, j º ("a)y.
7. ("a)j º ("a)y.
jÚc º yÚc.
jÙc º yÙc.
jc º yc.
jc º yc.
aÏ Free y, ($a)j º y.
($a)jº ($a)y
5.
y¢ y j j¢. j º j¢ y º y¢.
6. j y F Y , , .
1. F Y , j É y.
2. F Y , j º y.
7.
1. ⊨j, jÙy º ØjÚy º jy º jy º y.
2. ⊨y, jØy º jØy º Øj.
8. 1. j É y, jÙy º j jÚy º y.
2. j1 É y1 j2 É y2, j1Új2 É y1Úy2, j1Ùj2 É y1Ùy2.
3. j É c, y Éc, jÚy Éc.
4. j É y, j Éc, j É yÙc.
10.
1. 1. ("a)j É j, j É ($a)j.
2. aÏFree j, ("a)j º j, j º ($a)j.
2.
1.($a)j º Ø("a)Øj.
2. Ø($a)j º ("a)Øj.
3. ("a)j º Ø($a)Øj.
4.Ø("a)j º ($a)Øj.
3.
1.("a)("b)j º ("b)("a)j.
2. ($a)($b)j º ($b)($a)j.
3. ($a)("b)j É ("b)($a)j.
4. ("b)($a)j É ($a)("b)j.
. .
4.
1. .
2. .
11.
.
($a)jÚ("a)y
⇗ ⇘
1. ("a)jÚ("a)y⇒ ("a)(jÚy) ($a)jÚ($a)y º ($a)(jÚy).
⇘ ⇗
("a)jÚ($a)y
($a)jÙ("a)y
⇗ ⇘
2. ("a)(jÙy) º ("a)jÙ("a)y ($a)(jÙy)⇒ ($a)jÙ ($a)y.
⇘ ⇗
("a)jÙ($a)y
("a)j("a)y
⇗ ⇘
3. ($a)j("a)y⇒ ("a)(jy) ("a)j($a)yº($a)(jy).
⇘ ⇗
($a)j($a)y
("a)j("a)y ($a)j("a)y
⇗ ⇘
4. ("a)(jy) ($a)(jy).
⇘ ⇗
($a)j($a)y ("a)j($a)y
5. ⇒ º.
12. .
1.
aÏ Free j,
1.("a)(jÚy) º jÚ("a)y.
2. ("a)(jÙy) º jÙ("a)y.
3.("a)(jy) º j("a)y.
4. ($a)(jÚy) º jÚ($a)y.
5. ($a)(jÙy) º jÙ($a)y.
6. ($a)(jy) º j($a)y.
aÏ Free y,
("a)(jÚy) º ("a)jÚy.
("a)(jÙy) º ("a)jÙy.
("a)(jy) º ($a)jy.
($a)(jÚy) º ($a)jÚy.
($a)(jÙy) º ($a)jÙy.
($a)(jy) º ("a)jy.
.
2. , .
13.
(D1) ("a)cj ("a)(cj).
(D2) ($a)cj ($a)(cÙj).
1.
1. ("a)j É ("a)cj.
2. ($a)cj É ($a)j.
2. 1. ⊨ ($a)c, ("a)cj É ($a)cj.
2. , ("a)cj É ($a)cj.
3. aÏ Free j, ("a)c(jÚy) É jÚ("a)cy.
4. j¢ = j , c¢ = c , .
1. ("a)cj É c¢j¢.
2. c¢Ùj¢ É ($a)cj.
3. ⊨c¢, ("a)cj É j¢ É ($a)cj.
5. j É y.
1. aÏ Free j, j É ("a)cy. aÏ Free y, ($a)cj É y.
2. ("a)cj É ("a)cy. ($a)cj É ($a)cy.
6. aÏ Free j ⊨ ($a)c, ("a)cj º j º ($a)cj.
7.
1. Ø("a)cj º ($a)cØj.
2. Ø($a)cj º ("a)cØj.
8.
aÏ Free c¢ a¢Ï Free c,
1. ("a)c("a¢)c¢j º ("a¢)c¢("a)cj.
2. ($a)c($a¢)c¢j º ($a¢)c¢($a)cj.
3. ($a)c("a¢)c¢j É ("a¢)c¢($a)cj.
4. , 3 .
9. ⊨ ($a)c. c , .
. .
10. ⊨ ($a)c. c , 7.1.
11. c , .