Таңбасы ауыспалы қатарлар.

Анықтама. (1)

қатары кезек ауыспалы таңбылы қатар деп аталады.

Оң танбалы қатарды қарастырайық (2)

Егер (2) қатары жинақталатын қатар болса, онда (1) қатар абсолютті жинақталатын қатар деп аталады. Ал егер (2)қатары жинақталмайтын болса, онда (1) қатарға Лейбниц белгісін пайдаланамыз.

Лейбниц белгісі. Егер кезек ауыспалы таңбалы (1) қатардың мүшелері бірсарынды өспейтін және олар нөлге ұмтылатын болса, яғни , онда (1) қатар жинақталады, және оны шартты жинақталатын қатар деп атайды.

2. Функционалдық тізбектер мен қатарлардың жинақталуы. Х жиынының элементі х айнымалысының кейбір функциялары болатын тізбектер мен қатарлар

тізбегін алайық. Әрбір үшін тізбек жинақталады және оның ақырлы шегі бар дейік. Бұл шек мәні х айнымалысы мәнімен анықталады. Сондықтан ол шек те айнымалысы функциясыболады, оны f(x) арқылы белгілейік. Сонда

f(x) функциясы тізбектің шектік функциясы деп аталады.

Мүшелері бір ғана аргументінің функциялары болатын ақырсыз

қатарын қарастырайық. Егер әрбір үшін қатар жинақталатын қатар болса, онда ол қатардың мүшелері қосындысы да бар болып, ол да х – тің функциясы болып табылады. Қатардың бөлік қосындыларын арқылы белгілейік. Сонда

Анықтама. Егер кез келген саны үшін номірі табылып, барлық n номірлері мен кез келген үшін теңсіздігі орындалса, онда функциялық қатар Х жиынында жинқталатын қатар деп аталады.

3. Дәрежелік қатар. Жинақталу облысы.

Анықтама. және функциялық қатары дәрежелік қатар деп аталады. Мұндағы a белгілі нақты сандыр, ал х нақты айнымалы шама.

Теорема. (Абель теоремасы). Егер дәрежелік қатар х – тің х=х₀ м2н3нде жина0талатын 0атар болса6 онда ол теңсіздігін қанағаттандыратын х – тің барлық мәндерінде абсолютті жинақталады.

Теорема. Егер дәрежелік қатар х=х₀ мәнінде жинақталмайтын болса, онда ол х – тің теңсіздігіе қанағаттандыратын барлық мәндерінде де жинақталмайды.

Анықтама. Егер дәрежелік қатар болғанда жинақталатын қатар, ал болғанда жинақталмайтын қатар болса, онда R саны дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп аталады.

Сонымен қатардың жинақталу облысы

(-R,R) интервалы болып табылады, интервал ұштарында қатардың жинақталу немесе жинақталмауы туралы мәселе x=-R және x=R мәндерін қатарға қойғанда шығатын сәйкес сандық қатарларды зерттеу арқылы шешіледі, егер бұл сан қатарлары жинақталатын қатарлар болса, онда олардың жинақталуы абсолютті де немесе абсолютсіз де болуы мүмкін.

Дәрәжелік қатардың жинақталу радиусын табу үшін Даламбер белгісін қолдану мумкіндігі туады. Онда .

Немесе Коши белгісін пайдалансақ, онда .

Теорема. дәрежелік қатарды [0,x] аралығында мүшелеп интегралдауға болады, яғни егер S(x) арқылы қатар қосындысын белгілесек, онда

Теорема. дәрежелік қатарды өзінің жинақталу аралығы ішінде мүшелеп дифференциялдауға болады, яғни мына теңдік орындалады

Енді жалпы түрдегі дәрежелік қатарды қарастырамыз

х – тің теңсіздігінқанағаттандыратын мәндері үшін қатар жинақталады, ал болғанды жинақталмайды дейік. Бұл жағдайда R саны қатарының жинақталу радиусы, ал (x₀-R, x₀+R) интервалы ө жинақталу интервалы деп аталады.

Теорема. Егер f функциясы x=x₀ нүктесі маңайында жинақталу радиусы R санына тең болатын

f(x)=

қатары арқылы берілсе, онда бұл қатардың коэффициенттері

теңдіктері бойынша анықталады. Сондықтан ол қатар былай жазылады

Анықтама. f(x) функциясы x=x₀ нүктесінің кейбір маңайында анықталған болсын және осы нүктеде функцияның барлық ретті туындысы бар дейік. Сонда

қатары f(x) функциясының х₀ нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады. Х₀=0 болғанда Тейлор қатарынан Маклорен қатары деп аталатын

қатарын аламыз. Егер f(x) функциясы х₀ нүктесінің кейбір маңайында дәрежелік қатарға жіктелсе, онда қатар f(x) функциясының Тейлор қатары болып табылады.

Теорема. Егер f(x) функциясының барлық ретті туындылары () интервалында шенделген болса, яғни тұрақты М саны табылып, барлық х () мәндері үшін теңсіздіктері орындалса, онда сол интервалда f(x) функциясы Тейлор қатарына жіктеледі.