ϳ , , , , , , . , .
5.1.1.
= f (x) , (a, b). ³ D . y = f (x)
D = f (x + D x) f (x) (. 5.1).
. ³ D = f (x) :
(1)
. 5.1
³ . . a
.
.
= f (x) = 0, . | (2) |
= f (x) 0
. =
. , .
f (x) . , , f ¢ (x). ij f (x) .
.
. 5.2
(1):
.
(2): .
5.1.2.
.
¨ (1) :
.
5 . 4.2.6 :
.
, = ¨
¨ (1)
.
4 . 4.2.6 :
.
,
.
= :
. ¨
¨ (1):
,
.
, :
, = , :
. ¨
¨ 1. = sin x (1) :
.
:
.
,
.
2. = cos x :
3. = tg (1) :
1 . 4.2.5 .
,
.
4. = ctg x :
¨
5.1.3.
1. (onst)¢ = 0. |
¨ (. 5.3). ¨
. 5.3
(7)¢ = 0; ( 100)¢ = 0.
2. u - , (cu) ¢ = cu ¢. |
¨
|
|
3. u v , u + v : . , - : . |
¨ = u + v. D u D v u v D , :
.
:
¨
.
.
4. u v . |
¨ = uv, u v ; ∆ ; D u D v u v. :
(. 5.4).
. 5.4
,
.
D , :
.
¨
n :
(3)
¢, = ( 2 +1) ln x.
.
5. , , , . |
¨ , : ; u i v .
D ; D , D u, D v , u v.
, , D .
.
³ , :
,
.
D 0, :
. ¨
¢, .
.
5.1.4.
1. = f (x) , , , = g (y) = g (y), :
. (4)
. D , D .
.
.
,
.
,
. ¨
:
¨ , :
1 :
;
;
;
. ¨
5.1.5.
6. | 2. : . |
. u = j(). = f (u). = f (u), u = j(x):
(1):
.
. ¨
= f (x). ¢.
1) ; 2) ; 3) .
1) (5) :
2) ³: . 4
.
. (5) :
.
3) . 5 :
.
arctg x 3 (5):
;
¨
5.1.6.
= f (x) .
(6)
¨ f (x) > 0, (6); f (x) < 0 .
,
.¨
. , (6), f .
, F (x) i G (x):
(7)
.
:
.
:
5.1.7.
, .
, , , , ¢.
|
|
,
.
, , :
.
5.1.8. ,
.
3. :
1) ;
2) t 0 Î ;
3) = j(t) , j¢(t 0) ¹ 0;
4) t = a() , = j(t). , 0 = j¢(t 0)
. (8)
. t = a() , = j(t), 1 2 :
0 :
.
.
, ,
:
. .
:
.
, :
1) 2)
(8) :
1) ; ;
2) ,
.
5.1.9.
7. = f (x) , , .
¢, .
:
.
:
¨
5.1.10. -
. - .
.
:
(9)
- :
- , , .
:
1. y = f (x) :
, .
.
2. = f (x) ,
, v (x) = a.
¢, = ( 2 + 1)sin x .
¨ 1) .
2) .
3)
. ¨
5.1.11.
= f (x) , ¢ = f¢(x) . f ¢(x) f f ¢¢ f (2). f (2) , f (2) f () f (2).
, n - f (n) f () f (n- 1), .
f (n)() Dny, Dnf (x).
f (x) = 4 + 2 3 + + 5 n - .
f ¢(x) = 4 3 + 6 2 + 1, f ²(x) = 12 2 + 12 , f (3)(x) = 24 + 12, f (4)(x) = 24, f (n)(x) = 0 n ³ 5.
5.1.12.
n -
n - , . 5.1.3.
, :
, n - u (x) v (x). , , :
- :
(u + v)n u v ,
(u0 = v0), , ( ):
.
.
. [9].
|
|
. (n).
,
.
5.1.13. .
. = f (x), 0, .
. 0:
:
x 0, . , , 0 . , 0 , 0 . , : , = = . 0 = 0, , , , 0 = 0 .
. 5.10
1. 0 = 0 .
2.
0 = 0 , .
3.
= 0 .
5.1.14.
, , :
1) ;
2) .
, . , f(x) f ¢ (x), f(x) .
: , , t. , S t , .
t t + D t s + D s = f (t + D t).
D s = f (t + D t) f (t).
. | , , . |
v , :
.
. | , s = f (t), s = f (t) t: . |
, g . - ; t = 2 c.
.
, t = 2, :
.
.
= f (x),
. 5.1. b, , , + D , .
D 0, , b a, . , :
. (10)