Изопроцесс, протекающий в газе, при котором объем остается постоянным, называется изохорным.

Исследования зависимости давления данной массы газа от температуры при неизменном объеме были впервые проведены французским физиком Шарлем. Им было установлено, что давление газа данной массы при постоянном объеме возрастает линейно с увеличением температуры ( закон Шарля):

P = P₀(1+ t). (19)

Здесь P – давление газа при температуре t, °С; P₀ – его давление при 0 °С.

Величина называется температурным коэффициентом давления. Ее значение не зависит от природы газа; для всех газов = 1/273 °С^–1. Таким образом,

P = P₀(1 + ·t). (20)

Графическая зависимость давления от температуры изображается прямой линией – изохорой (Рис. 3).

Абсолютная шкала температур.

Если изохору продолжить в область отрицательных температур, то в точке пересечения с осью абсцисс имеем

P = P₀(1 + ·t) = 0. (21)

Отсюда температура, при которой давление идеального газа обращается в нуль, t = – 273°С (точнее,–273,16°С). Эта температура выбрана в качестве начала отсчета термодинамической шкалы температур, которая была предложена английским ученым Кельвиным. Эта температура называется нулем Кельвина (или абсолютным нулем).

Температура, отсчитанная по термодинамической шкале температур, обозначается Т. Ее называют термодинамической температурой. Так как точка плавления льда при нормальном атмосферном давлении, принятая за 0°С, равна 273,16 К^–1, то

Т = 273,16 + t. (22)

Уравнение Клайперона.

Получим другую форму уравнений, описывающих изобарный и изохорный процессы, заменив в уравнениях (18) и (20) температуру, отсчитанную по шкале Цельсия, термодинамической температурой:

V = V₀(1 + ·t) = V_{0 ( ) = V0}

Обозначив объемы газа при температурах Т₁ и Т₂, как V₁ и V₂, запишем

V₁ = V₀ , V_{2 =} V_{0 .}

Разделив почленно эти равенства, получим закон Гей - Люссака в виде
V₁/V₂ = Т₁/Т₂

или

= сonst. (23)

Аналогично получим новую форму закона Шарля:

(24)

Законы Шарля и Гей-Люссака можно объединить в один общий закон, связывающий параметры P, V и T при неизменной массе газа.

Действительно, предположим, что начальное состояние газа при m = const характеризуется параметрами V₁, Р₁, Т₁, а конечное – соответственно V₂, Р₂, Т₂. Пусть переход из начального состояния в конечное состояние происходит с помощью двух процессов: изотермического и изобарического. В ходе первого процесса изменим давление с Р₁ на Р₂. Объем, который займет газ после этого перехода, обозначим V, тогда по закону Бойля–Мариотта, Р₁V₁ = Р₂V, откуда

(25)

На втором этапе уменьшим температуру с Т₁ до Т₂, при этом объем изменится от значения V до V₂; следовательно по закону Шарля откуда

(26)

В уравнениях (25) и (26) равны левые части; следовательно, равны и правые, тогда , или

, (27)

т. е. можно записать, что

. (28)

Выражение (28) называют уравнением Клапейрона или объединённым газовым законом.

Уравнение состояния идеального газа – уравнение Менделеева-Клапейрона.

Значение входящей в уравнение (28) константы, которая обозначается как R, для одного моля любого газа одинаково, поэтому эта константа получила название универсальной газовой постоянной.

Найдем числовое значение R в СИ, для чего учтем, что, как следует из закона Авогадро, один моль любого газа при одинаковом давлении и одинаковой температуре занимает один и тот же объем. В частности при Т₀ = 273K и давлении Р₀ = 10⁵ Па объем одного моля газа равен V₀ = 22,4·10^–³ м³. Тогда R = = 8,31 Дж/(моль· К).

Уравнение (28) для одного моля газа можно записать в виде

. (29)

Из уравнения (29) легко получить уравнение для любой массы газа. Газ массой m займет объем V = V₀(m/M), где М – масса 1 моль, m/M – число молей газа. Умножив обе части уравнения (29) на m/M, получим .

Так как , то окончательно получаем

. (30)

Уравнение (30) называется уравнением Менделеева – Клапейрона и является основным уравнением, связывающим параметры газа в состоянии теплового равновесия. Поэтому его называют уравнением состояния идеального газа.

Степени свободы — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных (обобщённых координат), необходимых для полного описания движения механической системы. Также число степеней свободы равно полному числу независимых уравнений, полностью описывающих динамику системы.

3. Термодинамические процессы; графическое изображение процессов. Направленные процессы. Примеры термодинамических процессов.

Термодинамический процесс — переход термодинамической системы из одного состояния в другое, который всегда связан с нарушением равновесия системы.

Адиабатический процесс — термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не обменивается тепловой энергией с окружающим пространством. Адиабатический процесс для идеального газа описывается уравнением Пуассона. Линия, изображающая адиабатный процесс на термодинамической диаграмме, называется адиабатой. Адиабатическими можно считать процессы в целом ряде явлений природы. Так же такие процессы получили ряд применений в технике.

Изотермический процесс — термодинамический процесс, происходящий в физической системе при постоянной температуре. К изотермическим процессам относятся, например, кипение жидкости или плавление твёрдого тела при постоянном давлении. Графиком изотермического процесса является изотерма.

изобарный процесс — термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянном давлении и постоянной массе идеального газа.

Согласно закону Гей-Люссака, при изобарном процессе в идеальном газе .

Работа, совершаемая газом при расширении или сжатии газа, равна .

Количество теплоты, получаемое или отдаваемое газом, характеризуется изменением энтальпии: .

 

4. Внутренняя энергия. Циклические процессы. Работа и теплота. Первое начало термодинамики.

Внутренняя энергия тела (обозначается как E или U) — это сумма энергий молекулярных взаимодействий и тепловых движений молекулы. Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния системы. Это означает, что всякий раз, когда система оказывается в данном состоянии, её внутренняя энергия принимает присущее этому состоянию значение, независимо от предыстории системы. Следовательно, изменение внутренней энергии при переходе из одного состояния в другое будет всегда равно разности между ее значениями в конечном и начальном состояниях, независимо от пути, по которому совершался переход.

Внутреннюю энергию тела нельзя измерить напрямую. Можно определить только изменение внутренней энергии:

 

Работа – одна из форм обмена энергией (наряду с теплотой) термодинамической системы с окружающими телами или количественная характеристика преобразованной энергии в физических процессах. Работа положительна, если она отдает энергию и отрицательна, если получает.

Теплота - кинетическая часть внутренней энергии вещества, определяемая интенсивным хаотическим движением молекул и атомов, из которых это вещество состоит. Мерой интенсивности движения молекул является температура. Количество теплоты, которым обладает тело при данной температуре, зависит от его массы.

Первое начало термодинамики - термодинамическая система может совершать работу только за счёт своей внутренней энергии или каких-либо внешних источников энергии. Первое начало термодинамики часто формулируют как невозможность существования вечного двигателя первого рода, который совершал бы работу, не черпая энергию из какого-либо источника.

5. Теплоемкость. Закон Джоуля. Физический смысл универсальной газовой постоянной. Формула Майера. Энтальпия термодинамической системы. Теплоемкости одноатомных и многоатомных газов. Отношение теплоемкостей.

Теплоемкость – физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплоты δ Q, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры δ T:

 

Закон Джоуля. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не зависит от его плотности.

Физический смысл универсальной газовой постоянной. УГЗ численно равна работе (расширению), которую совершает 1 моль идеального газа при его нагревании на 1 К при р=const. Таким образом для одного моля идеального одноатомного газа выполняется (формула Майера):

Первое больше второго по 1 началу термодинамики.

Энтальпия или энергия расширенной системы Е равна сумме внутренней энергии газа U и потенциальной энергии поршня с грузом E _пот = pSx = pV

Таким образом, энтальпия в данном состоянии представляет собой сумму внутренней энергии тела и работы, которую необходимо затратить, чтобы тело объёмом V ввести в окружающую среду, имеющую давление р и находящуюся с телом в равновесном состоянии. Энтальпия системы H — аналогично внутренней энергии и другим термодинамическим потенциалам — имеет вполне определенное значение для каждого состояния, т. е. является функцией состояния. Следовательно, в процессе изменения состояния.

Так как энергия одной молекулы идеального газа , то внутренняя энергия одного моля идеального газа равна:

.

то есть

.

(4.3.1)

Внутренняя энергия произвольного количества газа:

.

(4.3.2)

Её изменение:

.

 

Теплоёмкости одноатомных газов С_V и С_Р

 

.

где теплоемкость при постоянном объеме С_V – величина постоянная, от температуры не зависит.
Учитывая физический смысл R для изобарических процессов, можно записать:

(для одного моля)

(4.3.3)

Тогда теплоемкость при постоянном давлении для одноатомных газов:

или

Полезно знать соотношение:

(4.3.4)

где γ - коэффициент Пуассона,
Так как , то . Из этого следует, что

(4.3.5)

Кроме того, , где i – число степеней свободы молекул.
Подставив в выражение для внутренней энергии, получим:

Так как , то внутреннюю энергию можно найти по формуле

(4.3.6)

То, что , хорошо подтверждается на опыте с Ne, He, Ar, Kr, парами одноатомных металлов.

Теплоемкости многоатомных газов

Опыты с двухатомными газами, такими как азот, кислород и др., показали, что

Для водяного пара и других многоатомных газов (СН₃, СН₄ и так далее)

Таким образом, молекулы многоатомных газов нельзя рассматривать как материальные точки. Необходимо учитывать вращательное движение молекул и число степеней свободы этих молекул.
Числом степени свободы (i) называется число независимых переменных, определяющих положение тела в пространстве.
Положение одноатомной молекулы, как и материальной точки, задаётся тремя координатами, поэтому она имеет три степени свободы (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Многоатомная молекула может ещё и вращаться. Например, у двухатомных молекул вращательное движение можно разложить на два независимых вращения, а любое вращение можно разложить на три вращательных движения вокруг взаимно перпендикулярных осей. Но для двухатомной молекулы вращение вокруг её собственной оси не изменит её положение в пространстве, а момент инерции относительно этой оси равен нулю (рис. 4.3).
Таким образом, у двухатомных молекул пять степеней свободы (i = 5), а у трёхатомных шесть степеней свободы (i = 6).

При взаимных столкновениях молекул возможен обмен их энергиями и превращение энергии вращательного движения в энергию поступательного движения и обратно. Таким путём было установлено равновесие между значениями средних энергий поступательного и вращательного движения молекул. Больцман доказал, что для не слишком низких температур средняя энергия , приходящаяся на одну степень свободы, равна

6. Адиабатический процесс. Обратимые и необратимые термодинамические процессы. Тепловые машины. Цикл Карно. КПД. Приведенная теплота.

Адиабатический процесс — термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не обменивается тепловой энергией с окружающим пространством. Адиабатический процесс является частным случаем политропного процесса, так как при нём теплоёмкость газа равна нулю и, следовательно, постоянна. Адиабатические процессы обратимы только тогда, когда в каждый момент времени система остаётся равновесной (например, изменение состояния происходит достаточно медленно) и изменения энтропии не происходит. Некоторые авторы (в частности, Л. Д. Ландау) называли адиабатическими только квазистатические адиабатические процессы. Адиабатический процесс для идеального газа описывается уравнением Пуассона. Линия, изображающая адиабатный процесс на термодинамической диаграмме, называется адиабатой. Адиабатическими можно считать процессы в целом ряде явлений природы. Так же такие процессы получили ряд применений в технике.

Обратимые и необратимые процессы, пути изменения состояния термодинамической системы. Процесс называют обратимым, если он допускает возвращение рассматриваемой системы из конечного состояния в исходное через ту же последовательность промежуточных состояний, что и в прямом процессе, но проходимую в обратном порядке. При этом в исходное состояние возвращается не только система, но и среда. Обратимый процесс возможен, если и в системе, и в окружающей среде он протекает равновесно. При этом предполагается, что равновесие существует между отдельными частями рассматриваемой системы и на границе с окружающей средой. Обратимый процесс - идеализированный случай, достижимый лишь при бесконечно медленном изменении термодинамических параметров. Скорость установления равновесия должна быть больше, чем скорость рассматриваемого процесса. Если невозможно найти способ вернуть и систему, и тела в окружающей среде в исходное состояние, процесс изменения состояния системы называют необратимым.

Необратимые процессы могут протекать самопроизвольно только в одном направлении; таковы диффузия, теплопроводность, вязкое течение и другое. Для химической реакции применяют понятия термодинамической и кинетической обратимости, которые совпадают только в непосредственной близости к состоянию равновесия. Р-ция А + В С + D наз. кинетически обратимой или двусторонней, если в данных условиях продукты С и D могут реагировать друг с другом с образованием исходных веществ А и В. При этом скорости прямой и обратной реакций, соотв. , где и -константы скорости, [А], [В], [С], [D]- текущие концентрации (активности), с течением времени становятся равными и наступает химическое равновесие, в котором -константа равновесия, зависящая от температуры. Кинетически необратимыми (односторонними) являются обычно такие реакции, в ходе которых хотя бы один из продуктов удаляется из зоны реакции (выпадает в осадок, улетучивается или выделяется в виде малодиссоциированного соединения), а также реакции, сопровождающиеся выделением большого кол-ва тепла.

На практике нередко встречаются системы, находящиеся в частичном равновесии, т.е. в равновесии по отношению к определенного рода процессам, тогда как в целом система неравновесна. Например, образец закаленной стали обладает пространственной неоднородностью и является системой, неравновесной по отношению к диффузионным процессам, однако в этом образце могут происходить равновесные циклы механической деформации, поскольку времена релаксации диффузии и деформации в твердых телах отличаются на десятки порядков. Следовательно, процессы с относительно большим временем релаксации являются кинетически заторможенными и могут не приниматься во внимание при термодинамич. анализе более быстрых процессов.

Необратимые процессы сопровождаются диссипативными эффектами, сущностью которых является производство (генерирование) энтропии в системе в результате протекания рассматриваемого процесса. Простейшее выражение закона диссипации имеет вид:

где средняя температура, d_iS- производство энтропии, - т. наз. нескомпенсированная теплота Клаузиуса (теплота диссипации).

Обратимые процессы, будучи идеализированными, не сопровождаются диссипативными эффектами. Микроскопическая теория обратимых и необратимых процессов развивается в статистической термодинамике. Системы, в которых протекают необратимые процессы, изучает термодинамика необратимых процессов.

Тепловая машина — устройство, преобразующее тепловую энергию в механическую работу (тепловой двигатель) или механическую работу в тепло (холодильник). Преобразование осуществляется за счёт изменения внутренней энергии рабочего тела — на практике обычно пара или газа. Идеальная тепловая машина — машина, в которой произведённая работа и разница между количеством подведённого и отведённого тепла равны. Работа идеальной тепловой машины описывается циклом Карно. При работе часть тепла Q1 передается от нагревателя к рабочему телу, а затем часть энергии Q2 передается холодильнику, который охлаждает машину КПД тепловой машины считается по формуле (Q1-Q2/Q1)х100. Периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет получаемого извне тепла, называется тепловой машиной.

Цикл Карно — идеальный термодинамический цикл. Тепловая машина Карно, работающая по этому циклу, обладает максимальным КПД из всех машин, у которых максимальная и минимальная температуры осуществляемого цикла совпадают соответственно с максимальной и минимальной температурами цикла Карно. Состоит из 2 адиабатических и 2 изотермических процессов. Цикл Карно назван в честь французского военного инженера Сади Карно, который впервые его исследовал в 1824 году. Одним из важных свойств цикла Карно является его обратимость: он может быть проведён как в прямом, так и в обратном направлении, при этом энтропия адиабатически изолированной (без теплообмена с окружающей средой) системы не меняется.

Коэффициент полезного действия (КПД) — характеристика эффективности системы (устройства, машины) в отношении преобразования или передачи энергии. Определяется отношением полезно использованной энергии к суммарному количеству энергии, полученному системой; обозначается обычно η («эта»). η = Wпол/Wcyм. КПД является безразмерной величиной и часто измеряется в процентах. Математически определение КПД может быть записано в виде:

x 100 %,

где А — полезная работа, а Q — затраченная работа.

В силу закона сохранения энергии КПД всегда меньше единицы или равен ей, то есть невозможно получить полезной работы больше, чем затрачено энергии.

КПД теплового двигателя — отношение совершённой полезной работы двигателя, к энергии, полученной от нагревателя. КПД теплового двигателя может быть вычислен по следующей формуле

,

где — количество теплоты, полученное от нагревателя, — количество теплоты, отданное холодильнику. Наибольшим КПД среди циклических машин, оперирующих при заданных температурах горячего источника T ₁ и холодного T ₂, обладают тепловые двигатели, работающие по циклу Карно; этот предельный КПД равен

.

Отношение теплоты Q в изотермическом процессе к температуре, при которой происходила передача теплоты, называется приведенной теплотой :

.

7. Энтропия. Энтропия в обратимых и необратимых адиабатических процессах. Второе начало термодинамики.

Энтропия – функция состояния, полный дифференциал которой равен приведенной теплоте. Абсолютное ее значение невозможно определить.

Рассмотрим изменение энтропии в обратимых термодинамических процессах. Для таких процессов . Отсюда следует, что в обратимых процессах энтропия может как возрастать, так и убывать. Температура является положительной величиной. Поэтому при подводе теплоты к системе (dq>0) отношение dq/T, равное ds, будет больше нуля. Следовательно, в этом случае энтропия системы возрастает. Если же теплота отводится от системы (dq<0), то ds<0 и энтропия убывает.

Интегрируя уравнение для ds в пределах от начального состояния 1 до конечного 2, найдем, что энтропия рабочего тела изменится на величину

(5.13)

В обратимом адиабатном процессе dq=0. Поэтому из (5.13) имеем s₂—s₁=0 и s₂=s₁, то есть в обратимом адиабатном процессе энтропия постоянна (s=const).

Рассмотрим теперь, как изменяется энтропия в необратимых процессах. Пусть какой-либо произвольный цикл состоит из двух процессов: необратимого 1—а—2 и обратимого 2—b—1 (рис. 5.5). Такой цикл является необратимым. Выражение (5.12) для него будет иметь вид

(5.14)

Для обратимого процесса 2—b—1, согласно (5.13), имеем

(5.15)

Тогда выражение (5.14) запишется в виде

(5.16)

или

то есть в необратимом процессе значение интеграла меньше, чем изме­нение энтропии в конечном и начальном состояниях.

В дифференциальной форме выражение (5.16) имеет вид

,

Рис. 5.5. Необратимый цикл, который состоит из необратимого 1-a-2 и обратимого 2-b-1 циклов

или

(5.17)

 

Так же, как и (5.12), формула (5.17) представляет собой уравнение второго закона термодинамики для необратимых процессов. В общем случае для обратимых и необратимых процессов с учетом уравнений (5.8), (5.12) и (5.9), (5.17) можно записать

(5.18)

 

и

(5.19)

 

(5.20)

В приведенных выражениях знак равенства относится к обратимым, а знак неравенства — к необратимым процессам.

Второе начало термодинамики. При всех процессах, происходящих в макроскопической системе, система не может самопроизвольно переходить из более вероятного состояния в менее вероятное. Конечное состояние системы всегда будет или более вероятным, чем начальное, или по крайней мере будет иметь ту же вероятность и энтропию.

8. Закон возрастания энтропии. Статистический смысл энтропии. Границы применимости второго начала термодинамики, «тепловая смерть» Вселенной. Третье начало термодинамики (уравнение Нернста).

Закон возрастания энтропии – при всех процессах, происходящих в макроскопической системе, энтропия системы возрастает (необратимые процессы) или, в крайнем случае, остается неизменной (обратимые процессы).

Теорема Пригожина: при внешних условиях, препятствующих достижению системой равновесного состояния, стационарное состояние системы соответствует минимальному производству энтропии.

Статистический смысл энтропии. В состоянии равновесия и термодинамическая вероятность максимальна, и энтропия максимальна. Из этого можно сделать вывод, что между ними существует связь.

Энтропия S – аддитивная величина: , где - сумма энтропий тел, входящих в систему.

Вероятность сложного события, есть произведение вероятностей состояний:

,

где W ₁ – первое состояние; W ₂ – второе состояние.

Аддитивной величиной является логарифм термодинамической вероятности:

.

Поэтому Л. Больцман предложил:

,

(6.7.1)

где k – коэффициент Больцмана. С этой точки зрения энтропия выступает, как мера беспорядочности, хаотичности состояния.

Например, в ящике черные и белые шары. Они порознь, есть порядок и W невелика. После встряхивания – шары перемещаются, W увеличивается и энтропия тоже. И сколько бы не встряхивать потом ящик, никогда черные шары не соберутся у одной стенки, а белые у другой, хотя эта вероятность не равна нулю.

Связь между S и W позволяет несколько иначе сформулировать второе начало термодинамики: наиболее вероятным изменением энтропии является ее возрастание.

Энтропия – вероятностная статистическая величина. Утверждение о возрастании энтропии потеряло свою категоричность. Её увеличение вероятно, но не исключаются флуктуации.

На основе этих рассуждений Р. Клаузиус в 1867 г. и выдвинул гипотезу о тепловой смерти Вселенной (о ней сказано ранее).

Л. Больцман один из первых опроверг эту гипотезу и показал, что закон возрастания энтропии – статистический закон, т.е. возможны отклонения.

Российские физики Я.Б. Зельдович и И.Д. Новиков так же опровергли эту теорию и показали, что Р. Клаузиус не учел, что Вселенная не стационарна и в будущем не перейдет к одному состоянию, так как она эволюционирует, не остается статичной.

Тепловая смерть Вселенной - это теория, выдвинутая Р. Клаузиусом в 1865, согласно которой Вселенная рассматривается как замкнутая система, поэтому согласно второму началу термодинамики, энтропия Вселенной стремится к максимуму, в результате чего со временем в ней должны прекратиться все макроскопические процессы. Вспомним для начала, в чем заключается суть второго начала термодинамики: при протекании необратимых процессов в замкнутой системе энтропия системы возрастает. Для сравнения: в незамкнутых системах энтропия может как возрастать, так и убывать, а также оставаться без изменения. Вернемся к нашей Вселенной. Вселенная, по мнению, Клаузиуса, является, бесспорно, замкнутой системой, так как она не обменивается энергией с другими системами (ведь не существует никакой другой Вселенной вне нашей?) Как замкнутая система, Вселенная стремится к равновесному состоянию - состоянию с максимумом энтропии. Таким образом, все происходящие во Вселенной процессы должны рано или поздно затухнуть, прекратиться.

 

Приращение энтропии при абсолютном нуле температуры стремится к конечному пределу, не зависящему от того, в каком равновесном состоянии находится система.

или

где — любой термодинамический параметр.

Третье начало термодинамики относится только к равновесным состояниям.

Поскольку на основе второго начала термодинамики энтропию можно определить только с точностью до произвольной аддитивной постоянной (то есть, определяется не сама энтропия, а только её изменение):

,

третье начало термодинамики может быть использовано для точного определения энтропии. При этом энтропию равновесной системы при абсолютном нуле температуры считают равной нулю.

9. Распределение молекул идеального газа по скоростям при тепловом движении в замкнутой системе (уравнение Максвелла). Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости молекул, и их связь с температурой. Экспериментальные проверки распределения Максвелла. Распределение Больцмана.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам зада­вали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой т ₀ в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т = const. остается постоянной и равной

Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоро­стям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом.

При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Пред­полагалось также, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f (v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные d v, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул d N(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул d N(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+ d v, т. е.

откуда

Применяя методы теории вероятностей. Максвелл нашел функцию f(v) — закон о распределеня молекул идеального газа по скоростям:

(44.1)

Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).

График функции (44.1) приведен на рис. 65. Так как при возрастании v множитель exp[ –m ₀ v²/(2kT) ] уменьшается быстрее, чем растет множитель v ², то функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при v _B, и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно v _B.

Относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+ d v, находится как площадь заштрихованной полоски на рис. 65. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция f(v) удовлетворяет условию нормировки

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее вероятной скорости можно найти продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу v, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(v):

Значения v= 0 и v =¥ соответствуют минимумам выражения (44.1), а значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость v _B:

(44.2)

Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, оста­ется неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы < v > (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле

Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем

(44.3)

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная 2) средняя 3) средняя квадратичная (рис. 65). Исходя из распределения молекул по скоростям

(44.4)

можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии e. Для этого перейдем от переменной v к переменной e =m ₀ v ² / 2. Подставив в (44.4) v= и d v= d e, получим

где d N (e) — число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движе­ния, заключенную в интервале от e до e + d e.

Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теплового движения

Средняя кинетическая энергия < e > молекулы идеального газа

т. е. получили результат, совпадающий с формулой (43.8).

 

Экспериментальные проверки распределения Максвелла.

Первым экспериментальным подтверждением существования распределения молекул по скоростям можно считать результаты опыта Штерна, описанного в параграфе 2.3. Но точность этого опыта была недостаточной для установления конкретного вида распределения.

Прямые измерения скорости атомов ртути в пучке были выполнены в 1929 году Ламмертом.

Два диска 1, насаженные на общую ось, имели радиальные прорези 2, сдвинутые друг относительно друга на угол . Напротив щелей находилась печь 3, в которой нагревался до высокой температуры легкоплавкий металл. Разогретые атомы металла, в данном случае ртути, вылетали из печи и с помощью коллиматора 4 направлялись в необходимом направлении. Наличие двух щелей в коллиматоре обеспечивало движение частиц между дисками по прямолинейной траектории 5, параллельной их оси. В установке Ламмерта в дисках было сделано множество щелей (они на рисунке не изображены) с целью увеличения интенсивности прошедшего пучка. Далее атомы, прошедшие прорези в дисках, регистрировались с помощью детектора 6. Вся описанная установка помещалась в глубокий вакуум.

При вращении дисков с постоянной угловой скоростью , через их прорези беспрепятственно проходили только атомы, имевшие скорость :

 

,

(5.75)

где - расстояние между вращающимися дисками.

Изменяя угловую скорость вращения дисков можно было отбирать из пучка молекулы, имеющие определенную скорость , и по регистрируемой детектором интенсивности судить об относительном содержании их в пучке.

Таким способом удалось экспериментально проверить статистический закон распределения молекул по скоростям. Позже, когда при создании ядерного оружия возникла необходимость выделения нейтронов с определенной кинетической энергией, подобная схема была применена в устройстве, названным нейтронным монохроматором, позволяющим получать энергетические спектры нейтронов.

Несколько иначе был организован эксперимент по определению распределения по скоростям для атомов цезия, выполненный в 1947 году немецким физиком-экспериментатором Иммануэлем Эстерманом (1900 - 1973) совместно с О. Симпсоном и Штерном. На рис. 5.7. приведено схематическое изображение опыта Эстермана. Пучок атомов цезия вылетал через отверстие в печи 1 с некоторой скоростью и под действием силы тяжести начинал двигаться по параболе. Атомы, прошедшие через узкую щель в диафрагме 2, улавливались детектором 3, который можно было располагать на различных высотах .

10. Барометрическая формула. Явления переноса. Длина свободного пробега. Теплопроводность. Внутреннее трение (вязкость). Диффузия. Вакуум; ултраразреженные газы.

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где — давление газа в слое, расположенном на высоте , — давление на нулевом уровне (), — молярная масса газа, — газовая постоянная, — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где — масса молекулы газа, — постоянная Больцмана.

Явления переноса, кинетические процессы, необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственный перенос электрического заряда, массы, импульса, энергии, энтропии или какой-либо др. физической величины. П. я. описываются кинетическими уравнениями (см. Кинетика физическая). Причины П. я.— действие внешнего электрического поля, наличие пространственных неоднородностей состава, температуры или средней скорости движения частиц системы. Перенос физической величины происходит в направлении, обратном градиенту этой величины. П. я. приближают систему к состоянию равновесия.тК П. я. относятся: электропроводность — перенос электрического заряда под действием внешнего электрического поля; диффузия — перенос вещества (компонента смеси) при наличии в системе градиента его концентрации; теплопроводность — перенос теплоты вследствие градиента температуры; вязкое течение (см. Вязкость) — перенос импульса, связанный с градиентом средней массовой скорости. Перенос вещества вследствие градиента температуры — термодиффузию и обратный ей Дюфура эффект, гальваномагнитные явления и термомагнитные явления называются перекрёстными процессами, так как здесь градиент одной величины вызывает перенос др. физической величины. При определённых условиях для перекрёстных процессов выполняется Онсагера теорема.

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние (обозначаемое ), которое частица пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего.

Длина свободного пробега каждой молекулы различна, поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега (<λ>). Величина <λ> является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

, где — эффективное сечение молекулы, — концентрация молекул.

Внутреннее трение (вязкост ь) - сопротивление перемещению частиц под влиянием приложенной силы. В применении к жидкостям различают В. динамическую и кинематическую. Динамическая В. — сила сопротивления перемещению слоя жидкости площадью 1 см2 на 1 см со скоростью 1 см/сек; измеряется в пуазах. Кинематическая В. — отношение динамической В. жидкости к ее удельному весу; измеряется в стоксах. В нефтяной практике пользуются также относительными или условными мерами В., напр., удельной В., численно равной отношению динамической В. жидкости к динамической В. воды при определенной температуре. Наиболее обычным способом определения В. является измерение скорости истечения испытуемой жидкости в стандартных условиях. Приборы для определения В. называются вискозиметрами. Условная В. нефти или ее производных, определяемая в вискозиметре Энглера, измеряется в градусах Энглера (°Et или °Эt), в вискозиметрах Сейболта и Редвуда — в секундах Сейболта ("S) или Редвуда ("R).

Вакуум. В технике и прикладной физике под вакуумом понимают среду, содержащую газ при давлениях значительно ниже атмосферного. Вакуум характеризуется соотношением между длиной свободного пробега молекул газа λ и характерным размером среды d. Под d может приниматься расстояние между стенками вакуумной камеры, диаметр вакуумного трубопровода и т. д. В зависимости от величины соотношения λ/ d различают низкий (), средний () и высокий () вакуум.

11. Реальные газы. Уравнение Ван-Дер-Ваальса. Изотермы Ван-Дер-Ваальса. Критическое состояние газа.

Реальные газы -газ, который не описывается уравнением состояния идеального газа Клапейрона — Менделеева. Зависимости между его параметрами показывают, что молекулы в реальном газе взаимодействуют между собой и занимают определенный объём. Состояние реального газа часто на практике описывается обобщённым уравнением Менделеева — Клапейрона.

Уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса — уравнение, связывающее основные термодинамические величины в модели газа Ван-дер-Ваальса. Хотя модель идеального газа хорошо описывает поведение реальных газов при низких давлениях и высоких температурах, в других условиях её соответствие с опытом гораздо хуже. В частности, это проявляется в том, что реальные газы могут быть переведены в жидкое и даже в твёрдое состояние, а идеальные — не могут.

Для исследования поведения реального газа рассмотрим изотермы Ван-дер-Ваальса – кривые зависимости p от Vm при заданных Т, - определяемые уравнением Ван-дер-Ваальса для моля газа. Эти кривые, полученные для четырёх различных температур имеют довольно своеобразный характер: при высоких температурах (Т>Тк) изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением её формы, оставаясь монотонно спадающей кривой; при некоторой температуре, на изотерме имеется лишь одна точка перегиба; при низких температурах (Т<Тк) изотермы имеют волнообразный участок, сначала монотонно опускаясь вниз, затем монотонно поднимаясь вверх и снова монотонно опускаясь.

Общие свойства и строение жидкостей; тепловое движение и явление переноса в жидкостях. Внутреннее трение. Поверхностные свойства жидкостей. Давление над изогнутой поверхностью. Явления на границе жидкости и твердого тела.Капиллярные явления.

1. Жидкостями называются тела, которые имеют определенный объем, но не имеют упругости формы. Жидкости отличаются сильным межмолекулярным взаимодействием и, вследствие этого, малой сжимаемостью. Малая сжимаемость жидкостей объясняется тем, что небольшое уменьшение расстояния между молекулами на малых взаимных расстояниях приводит к появлению больших сил межмолекулярного отталкивания. Коэффициент сжимаемости для жидкостей изменяется в пределах от 2*10-6 до 2*10-4 атм-1.

2. Обычные жидкости изотропны, за исключением жидких кристаллов, анизотропность которых в отношении ряда физических свойств связана с преобладанием у них в различных микрообъемах определенной ориентации молекул.

3. В жидкостях наблюдается ближний порядок - упорядоченное относительное расположение (или взаимная ориентация в жидких кристаллах) соседних частиц жидкости внутри малых ее объемов. Структура жидкости и ее физические свойства описываются набором функций распределения положений групп ее частиц. Наибольшее значение имеет радиальная функция распределения, характеризующая радиальное распределение частиц вокруг одной из них (центральной). Плотностью радиального распределения называется число центров частиц, попадающих внутрь шарового слоя, ограниченного радиусами r и r + dr, где r - расстояние от центральной частицы

4. Молекулы жидкости совершают тепловые колебания около положений равновесия со средней частотой 1/t0, близкой к частотам колебаний атомов в кристаллах, и амплитудой, определяемой «свободным объемом», предоставленным молекуле ее соседями. По истечении времени t >> t0 эти положения равновесия смещаются на расстояния порядка 10-8 см. Среднее (по совокупности большого числа молекул) время t, называемое временем релаксации, является характерным временем, связанным с перемещением частиц жидкости на расстояния порядка 10-8 см.

внутреннее трение, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. В. твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно (см. Внутреннее трение в твёрдых телах).

Основной закон вязкого течения был установлен И. Ньютоном (1687):

где F — тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоёв жидкости (газа) относительно друг друга; S — площадь слоя, по которому происходит сдвиг; (v ₂ — v _l)/(z ₂ — z ₁) — градиент скорости течения (быстрота изменения её от слоя к слою), иначе — скорость сдвига (см. рис. 1). Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом динамической вязкости или просто В. Он количественно характеризует сопротивление жидкости (газа) смещению её слоёв. Величина, обратная В., φ =¹/_η называется текучестью.

 

Молекулы жидкости (и твёрдого тела) находятся в потенциальной яме. Основные положения молекулярно-кинетической теории (в курсах физики для 7-го, 8-го и 10-го классов) утверждают наличие сил притяжения и отталкивания между молекулами вещества. Общим свойством этих сил является убывание (по модулю) с расстоянием. Различие – силы отталкивания короткодействующие, а притяжения – дальнодействующие. Именно эти свойства сил притяжения и отталкивания приводят к характерной зависимости F(r).

2. Потенциальная энергия молекул жидкости в глубине и на поверхности. Как видно из рис. 2, молекулы на поверхности жидкости находятся в окружении в два раза меньшего количества соседей, чем в глубине. Из аддитивности потенциальной энергии можно сделать вывод о том, что потенциальная энергия молекул на поверхности примерно в два раза больше, чем глубинных. Это значит, что глубина потенциальной ямы для поверхностных молекул примерно в два раза меньше, чем для молекул в глубине жидкости. Обращаем внимание на то обстоятельство, что потенциальная энергия поверхностных молекул (при указанном выборе нулевого уровня) по модулю меньше (а сама по себе – больше) потенциальной энергии остальных молекул (рис. 3). Отрицательное значение потенциальной энергии отвечает связанному состоянию молекул.

 

3. Сила поверхностного натяжения. Представим себе деформацию сферической капли в отсутствие тяготения. Для деформации необходимо усилие. После снятия усилия капля опять становится сферической. Пользуясь динамическим языком, это явление можно пояснить так: движение капли обусловлено силами поверхностного натяжения. Капля ведёт себя так, словно на поверхности имеется растянутая упругая плёнка. Если на поверхности этой плёнки провести произвольную замкнутую линию, то на выделенную часть плёнки со стороны остальной её части действительно действуют силы. Эти силы направлены по касательной к поверхности и перпендикулярны участкам линии. Именно указанные силы и обеспечивают растяжение плёнки. Если же мы проведём замкнутую линию на поверхности жидкости, то со стороны молекул, окружающих выделенную область, усилие действовать не будет: молекулы на поверхности находятся в равновесии, как и молекулы в глубине, силы притяжения уравновешены силами отталкивания. Следует отметить, что этот вывод не зависит от того, какие именно молекулы окружают выделенную часть поверхности жидкости.

КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ - физ. явления, обусловленные поверхностным натяжением на границе раздела несмешивающихся сред. К К. я. относят обычно явления в жидких средах, вызванные искривлением их поверхности, граничащей с др. жидкостью, газом или собственным паром.

Искривление поверхности ведёт к появлению в жидкости дополнит. капиллярного давления Ар, величина к-рого связана со ср. кривизной r поверхности ур-нием Лапласа:

Dp=P1-р2=2s12/r,

где s12— поверхностное натяжение на границе двух сред; p1 и р2 — давления в жидкости 1 и контактирующей с ней среде (фазе) 2. В случае вогнутой поверхности жидкости (r<0) p1<0.="" Для="" выпуклых="" поверхностей="" (r="">0) Dр>0. Капиллярное давление создаётся силами поверхностного натяжения, действующими по касательной к поверхности раздела. Искривление поверхности раздела ведёт к появлению составляющей, направленной внутрь объёма одной из контактирующих фаз. Для плоской поверхности раздела (r=?) такая составляющая отсутствует и Dр=0.

К. я. охватывают разл. случаи равновесия и движения поверхности жидкости под действием сил межмолекулярного взаимодействия и внеш. сил (в первую очередь, силы тяжести). В простейшем случае, когда внеш. силы отсутствуют или скомпенсированы, поверхность жидкости всегда искривлена. Так. в условиях невесомости ограниченный объём жидкости, не соприкасающейся с др. телами, принимает под действием поверхностного натяжения форму шара (см. КАПЛЯ). Эта форма отвечает устойчивому равновесию жидкости, поскольку шар обладает мин. поверхностью при данном объёме и, следовательно, поверхностная энергия жидкости в этом случае минимальна. Форму шара жидкость принимает и в том случае, если она находится в другой,