Математикалық маятник

Ауырлық күшінің әсерінен тербелмелі қозғалысқа келетін салмақсыз, созылмайтын жіпке іліінген материалдық нүкте математикалық маятник деп аталады. Тербелмелі процестер жүзеге асатын құрылғыларды тербелмелі жүйелер деп атайды. Осындай жүйелердің қарапайым түрі — математикалық маятниктің тербелісін қарастырайық. Математикалық маятник деп созылмайтын салмақсыз жіңішке ұзын жіпке ілінген кішкентай ауыр шарды айтады.

Тербелмелі жүйелерге тән белгілердің бәрі математикалық маятникте де болады. Егер маятникті тепе-теңдік күйінен ауытқытсақ, онда ол әрекет етуші күштерді теңгеруші күштің әрекетінен бастапқы тепе-теңдік күйіне қайта оралады. Осындай маятниктердің қозғалысын бақылай отырып, келесі қарапайым заңдарды тағайындауға болады.

1. Егер маятниктің ұзындығын өзгертпей, оған массалары әр түрлі жүктер ілсек, онда маятниктің тербеліс периодының өзгермейтіні байқалады. Демек, математикалық маятниктің периоды жүктің массасына тәуелді болмайды.

2. Егер маятникті қозғалысқа келтіргенде оны әр түрлі бұрышқа (бірақ өте үлкен емес) ауытқытатын болсақ, онда ол амплитудасы түрліше болғанымен, бірдей периодпен тербеледі.Амплитудасы өте үлкен болмаған жағдайда бұл тербеліс гармоникалық тербеліске мейлінше жуық болады. Математикалық маятниктің периоды тербеліс амплитудасына тәуелді болмайды.

3. Маятниктің ұзындығын өзгерте отырып, тәжірибені қайталасақ, тербеліс периодының маятник ұзындығына тәуелді болатынына көз жеткіземіз. Демек, маятник неғұрлым ұзын болса, тербеліс периоды соғұрлым көп болады. Ал, керісінше, маятник неғұрлым қысқа болса, тербеліс периоды соғұрлым аз болады.Математикалық маятник тербелісінің формуласын қорытып шығарайық. Маятник тербеліп тұрғанда жүк АВ доғасының бойымен F_қ кері қайтарушы, яғни қорытқы күштің әрекетінен үдеумен қозғалады. Бұл күштің шамасы қозғалыс кезінде өзгеріп отырады. Ал дененің мұндай тұрақсыз күштің әрекетінен қозғалысын есептеу өте күрделі. Сондықтан есептеудіжеңілдету үшін біз былай жасаймыз: маятникті бір жазықтықта тербелтпей, жүк шеңбер бойымен қозғалатындай етіп, оны конус сызуға мәжбүр етеміз.Маятниктің айналу периоды оның тербеліс периодына тең болады: Т_айн = Т_тер = Т.Конустық маятниктің айналу периоды жүк сызатын шеңбердұзындығын сызықтық жылдамдыққа бөлгенге тең: T=2πR/νАл маятник вертикаль күйінен шамалы ғана ауытқитын болса, амплитуда аз болғанда, қорытқы күш шеңбердің ВС радиусы бойымен бағытталады деп есептеуге болады. Бұл жағдайда қорытқы күш центрге тартқыш күшке тең: F=mν²/RЕкінші жағынан, ОВС және BDE үшбұрыштарының ұқсастығынан: BE: BD = CB: ОС немесе F: mg = R: l, бұдан F=mgR/lСөйтіп, математикалық маятниктід тербеліс периоды g еркін түсу үдеуі мен маятниктің I ұзындығына ғана тәуелді болады. Алынған формула маятниктің тербеліс периоды оның массасы мен тербеліс амплитудасына (ол өте аз болғанда) емес, тек маятниктің I ұзындығы мен g еркін түсу үдеуіне ғана тәуелді болатынын көрсетеді.Енді серіппеге ілінген жүктің тербелісін қарастырайық. Мұндай қарапайым тербелмелі жүйені серіппелі маятник деп атайды. Егер серіппе l ұзындыққа созылса немесе сығылса, онда денені тепе-теңдік күйіне қайтаратын F күші туындайды. Ұзару шамасы х=l-l₀ азғантай болған кезде бұл күш серіппенің ұзаруына пропорционал болады, яғни Гук заңы бойынша: F=-kxНьютонның 2-заңын пайдалансақ, дененің қозғалыс теңдеуін мына түрде жазуға болады: ma = -kx, бұдан а = -kx/m. Ығысу шамасы (х) неғұрлым үлкен болса, а үдеуі де соғұрлым үлкен, яғни ең үлкен ығысуға ең үлкен үдеу сәйкес келеді.Гармоникалық тербелістердің ν жиілігі 1 с ішіндегі тербеліс санын көрсетсе, ω циклдік жиілік маятниктің 2π с секундтағы тербеліс санына тең болады, яғни

ω=2πν=2π/T Олай болса, ma=-mω²х. Осы өрнекті қозғалыс теңдеуімен салыстыра отырып алатынымыз: -mω²х = -kx, бұдан

ω=

ω=2π/T — екенін ескерсек, серіппелі маятниктің тербеліс периоды мынаған тең болады:

Т=2π