Часове та спектральне представлення сигналів

Сигнали можна представляти функціями часу або у вигляді частотних спектрів. При дослідженні ПЕМВН сигнали зазвичай представляються у вигляді частотних спектрів.

Якщо сигнал визначається гармонічною функцією A cos(ωt + ψ), то на шкалі частот вона визначається заданою амплітудою А та початковою фазою ψ (рис. 4.4).

Рисунок 4.4 – Звичне спектральне представлення гармоніки: гармонічна частота на шкалі частот та на шкалі фази

 

За комплексної форми запису косинусоїди

. (4.19)

вводиться чисто математичне поняття негативної кутової частоти, а шкала частот доповнюється негативною на піввіссю. Амплітудний і фазовий спектр в цьому випадку зображаються парами ординат (рис. 4.5), відповідних позитивні і негативним значенням кутової частоти.

Рисунок 4.5 – Спектральне представлення гармоніки для комплексної форми запису косинусоїди

 

Не синусоїдальні сигнали можуть бути розкладені в ряд Фур’є, тобто представлені у вигляді дискретного ряду гармонік.

Для тригонометричної форми запису ряду Фур’є для функції

(4.20)

амплітуди A_n і початкові фази ψ_n визначаються формулами

; , (4.21)

де n – номер гармоніки.

В (4.21) коефіцієнти розкладення

; , (4.22)

де Т – період основної частоти, ω ₁ = 2π T – основна частота.

Для комплексної форми запису ряду Фур’є

(4.23)

комплексні амплітуди визначаються за формулою

. (4.24)

у якій A_n, ψ_n, a_n, b_n обчислюються за раніше наведеними формулами.

Сукупність амплітуд відповідних гармонік (модулів комплексних коефіцієнтів ряду Фур’є, відкладених проти відповідних позитивних і негативних частот) представляє симетричний щодо осі ординат лінійчатий амплітудний спектр.

Лінійчатий фазовий спектр утворюють аргументи (фази) комплексних коефіцієнтів ряду Фур’є.

Розглянемо періодичну послідовність прямокутних імпульсів одиничного рівня з періодом повторення, що значно перевищує тривалість імпульсу (рис. 2.6, а), що характерне для засобів цифрової обробки інформації.

Характеристикою послідовності імпульсів є шпаруватість N = T/ t ₁.

Імпульсу на осі ординат (рис. 4.6, а) відповідає часова функція

(4.25)

Згідно (4.24) вираз для комплексних амплітуд визначається як

. (4.26)

На підставі (4.26) можна побудувати спектр періодичної послідовності імпульсів. Якщо в останньому виразі позначити , то очевидно, що огинаюча спектру, показана на рис. 4.6.б, описується простим виразом .

Число спектральних ліній між початком відліку за шкалою частот (або номерів гармонік) та першим нулем огинаючої дорівнює числу спектральних ліній між сусідніми нулями і складає N – 1. Положення нулів огинаючої спектру на осі частот не залежить від періоду Т, а визначається лише тривалістю імпульсу. При цьому коефіцієнти ряду заданого періодичного сигналу обернено пропорційні періоду (або шпаруватості імпульсів). Із зростанням Т огинаюча знижується, прагнучи при Т > ∞ співпасти з віссю абсцис.

 

Рисунок 4.6 – Послідовність прямокутних імпульсів (а) і її спектр (б)

Перепишемо часову функцію у наступному вигляді

. (4.27)

Тут – частотний інтервал між складовими ряду Фур’є. Оскільки , то

. (4.28)

У міру зростання періоду Т інтервал скорочується, а лінійчатий спектр все більш згущується при зменшенні модулів A_n комплексних амплітуд. При дискретні частоти , тобто спектр з дискретного перетворюється в суцільній, а .

Інтеграл під знаком суми при утворює функцію, яку називають спектральною густиною та позначають .

У реальних умовах існує лише суцільний спектр імпульсів. Амплітуди гармонічних складових для послідовності імпульсів значно більші, ніж амплітуда огинаючої спектральної густини для одиночного імпульсу. Проте нормами визначено розрахунок захищеності по одному імпульсу незалежно від попередніх і подальших. Тому в розрахункових формулах введена операція ділення на корінь квадратний з частоти проходження імпульсів, а невірне визначення цієї частоти приводить до помилкового результату.