Вопрос Графический метод для нахождения условного экстремума (пример).

построим график для у-ия, задающего ограничения k+l=4 и линии уровня производной фии.

K=4-l; kl=C=>k= C=1 k= C=2 k= C=4 k= C=8 k= Уровень пр-ва С=8 недостижимо, т.к. линия уровня не пересекает линию ограничения. Уровни пр-ва С=1,С=2,С=4 достижимы т.к. линии уровня пересекают линию ограничения. Уравнение пр-ва С=4 – мах, т.к. не существует линии уровня, лежащей выше и пересекающую линию ограничения.

ВЫВОД: для нахождения оптимального сочетания труда и капитала необходимо найти линию уровня, касающуюся линию ограничения, точка косания и даст оптимальный вариант.

Вопрос Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума(пример).

1) переписать ограничение виде g(x,y)=0

2) составить ф-ию Лагранжа {l(x,y, )=f(x,y)+ g(x,y)}

3) найти безусловный экстремум решив систему уравнений:

Решением системы является тройка чисел

определить является ли точка

точкой условного максимума или минимума.

Для этого взять точку (x,y), близкую к точке и удовлетворяющую ограничению, если значение фии

f <f(x,y), то - точка условного min,

f >f(x,y), то - точка усл max.

Пример:

(2,2) Q(2,2)=2*2=4

(3,1) Q(3,1)=3*1=3

(2,2) – точка условного максимума

Вопрос Геометрический смысл метода множителей Лагранжа.

Теорема: Пусть т. М - т усл экстремума фии Z=f(x,y) при наличии ограничения g(x,y)=0, тогда в т М линия уровня Z=f(x,y) касается линии ограничения g(x,y)=0.

Док-воЖД(чбнб )=а(чбн)+ п(чбн)

Т.к. М – т усл. Экстремума, то

линии ограничения>линия уравнения и линия ограничения имеют общий |, проходящий через т М, такое возможно только если линия уровня и линия ограничения касаются друг друга в т М.

Вопрос Задача об оптимальном

распределении ресурсов.

Q(k,l) – производственная функция; - цена ед. капитала; - цена ед. труда; М – сумма, выделенная на приобретение l и k.

 

- бюджетные ограничения.

При оптимальном распределении ресурсов

отношение цен ед. k и l равно отношению придельных продуктов k и l.

17 Вопрос Задача об оптимальном потреблении.

U(Q1,Q2) – функция полезности; P1 – цена ед. первого продукта; P2 – цена ед. второго продукта; М – общая сумма выделенная на приобретение двух продуктов.

Необходимо распределить сумму М между двумя продуктами, так что бы полезность была максимальной.

Имеем задачу на условный экстремум: Решим задачу методом Лагранжа

 

Вопрос Понятие первообразной и неопределенного интеграла(пример).

Определение 1. первообразной фии для функции f(x) на интервале Х называется такая фия F(x), производная которой равна данной функции(F’(x)=f(x))

Пример1 следовательно

Определение 2 неопределенным интегралам от непрерывной функции f(x) называется совокупность всех первообразных фий f(x) и обозначается

где F’(x) = f(x).

Пример 2 следовательно