Матрица. Основные определения, действия над матрицами.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m

строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной

строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество

столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n-ого

порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца

совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют

диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной

диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и

обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0,

называется нуль-матрицей.

1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую

матрицу. Произведением матрицы А на число (называется матрица В, равная

(А, каждый элемент которой находится по формуле: bij =(x aij. Для того,

чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый

элемент матрицы.

2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только

матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица

С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле Сij=aij+bij. Для того,

чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы,

стоящие на одинаковых местах.

3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична

сложению.

4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только

тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А

размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn,

каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки

матрицы А на соответствующие элементы

j-ого столбца матрицы В.

5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные

матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы Аm называется

произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет;

транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы

меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной

диагонали остаются на своих местах.

7)Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель

8)Если к.-л. столбец или строка

матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то (этой матрицы может

быть представлен в виде суммы 2-х определителей.

 

3.Обратная матрица Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если

при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная

матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы):

обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда

заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной, если её

определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная.

Сначала проверим является ли А квадратной, т.е. совпадают ли n и k.

Затем проверим равен ли определитель мартицы А нулю. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.

Создаем матрицу Inv равную единичной размерности nxn.

А затем при помощи элементарных преобразований: сложения строк матрицы, умножения строки на число, перестановки столбцов и строк приведем матрицу A к единичной. Причем, параллельно, те же самые преобразования будем производить и с матрицей Inv (переставлять и складывать те же строки/столбцы, и умножать на это же число).

В результате, матрица Inv - будет являться обратной матрицей к исходной матрице A.

 

5. Системы линейных уравнений.
Линейным ур-ем относительно неизвестных x1,x2,…,xn называется выражение

вида a1x1+a2x2+…+anxn=b, где a1,a2,…,an и b- простые числа, причём

a1,a1,…,an называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным

коэффициентом. Последовательность чисел k1,k2,…,kn называется решением ур-

я, если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное

равенство. Два линейных ур-я называются равносильными, если их решения

совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо

осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части

ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число,

отличное от ноля. Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения

или установить, что их нет. Система уравнений называется совместной, если

она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если

она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений

множество. Неизвестное x1 называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы

содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я

системы неизвестное x1 не входит. Если каждое ур-е системы содержит

разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестные

СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными.

Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий

равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше,

чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая

её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами

которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей

системы. Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов,

называется расширенной матрицей.

 

7.Решение невырожденных лин. сис Система уравнений наз невырожденной, если ее определитель не равнее нулю.
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формуле

 

11. Основные элементарные функции и их графики. Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Показательная функция у = a^х, a>0, а ≠ 1.

 

Степенная функция у = х^α, αєR.

Логарифмическая функция y = log_ax, a>0, a≠1;

Тригонометрические функции у = sin(x), у = cos(x), у = tg(х), у = ctg(x);

 

Обратные тригонометрические функции у = arcsin(x), у = arccos(x), у = arctg(x), у = arcctg(x).