Формула Ньютона-Лейбница (формула двойной подстановки). Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который являетсятабличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

В частности, с помощью n -кратного применения этой формулы находится интеграл

где P_{n + 1}(x) — многочлен (n + 1)-ой степени.

3. Геометрический смысл определенного интеграла. Если f (x) непрерывна и положительна на [ a, b ], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f (x) (см. рис. 5.).

Формула Ньютона-Лейбница (формула двойной подстановки)

 

(f непрерывна; F - первообразная для f).

Теорема Барроу

 

Если f непрерывна, то

Свойства интеграла

Линейность

 

Аддитивность

 

Монотонность

 

Если и a < b, то В частности, если то

4. В большинстве методов используется приближенной представление интеграла в виде конечной суммы (квадратурная формула):

где c_i – постоянные, называемые весами, а x_i – принадлежат интервалу [ a, b] и называются узлами.

В основе квадратурных формул лежит идея аппроксимации на отрезке интегрирования графика подынтегрального выражения функциями более простого вида, которые легко могут быть проинтегрированы аналитически и, таким образом, легко вычислены. Наиболее просто задача построения квадратурных формул реализуется для полиномиальных математических моделей.

Многочлен (полином) порядка n имеет вид

,

и определяется, таким образом, значениями (n+1) констант a_i. Если известно значение функции в (n+1) точках i = 0, 1, …, n, то данные параметры легко определяются из системы (n+1) линейных уравнений с (n+1) переменными a_i

Если все x_i различны, то данная система уравнений имеет единственное решение, так как определитель системы, составленный из коэффициентов системы линейных уравнений (так называемый определитель Вандермонда) будет отличен от нуля

Определив коэффициенты интерполяционного многочлена, можно легко вычислить приближенное значение интеграла, заменив подынтегральную функцию на полученный многочлен

Узлы интерполирования на отрезке интегрирования могут быть расположены на равном удалении друг от друга (эквидистантные узлы). В этом случае для полинома степени n имеем следующее

, ,

h – шаг, x_i – узлы интерполирования.

При n = 0 получаем метод прямоугольников. График функции f(x) на отрезке интегрирования заменяется на горизонтальную линию (полином степени 0).